一般形式
楊氏不等式
楊氏不等式
楊氏不等式假設是非負實數，， ，那么
楊氏不等式
楊氏不等式等號成立若且唯若 .
加權形式
楊氏不等式 楊氏不等式 楊氏不等式假設是非負實數，，，那么
楊氏不等式
楊氏不等式
楊氏不等式其中任意小而任意大。
若且唯若 a=b時等號成立
Young不等式是加權算術－幾何平均值不等式的特例，Young不等式是證明Holder不等式的一個快捷方法
證明
1.若 b =0，不等式顯然成立。
楊氏不等式若 b≠0， ,則該不等式變為
楊氏不等式
楊氏不等式
楊氏不等式
楊氏不等式
楊氏不等式設 ， 時， f嚴格遞增， 時， f嚴格遞減，故f(t) f(1)=1-t，得證。
2.如果a>0且b>0，而數p,q滿足：1/p+1/q=1，那么
a^(1/p)*b^(1/q)≤(1/p)*a+(1/q)*b，當p>1
a^(1/p)*b^(1/q)≥(1/p)*a+(1/q)*b，當p<1
可以先證明：x>0時，
x^α-αx+α-1≤0，當0<α<1時；
x^α-αx+α-1≥0，當α>1時；
f(x)=x^α-αx+α-1
f'(x)=α[x^(α-1)-1],f'(1)=0
當0<α<1時;
當x∈(0,1);f'(x)>0;
當x∈(1,+∞);f'(x)<0;
∴f(x)在x=1處取最大值，又f(1)=0，∴f(x)≤0
當α>1時，
當x∈(0,1)時，f'(x)<0，
當x∈(1,+∞)時，f'(x)>0，
∴f(x)在x=1處取最小值，又f(1)=0，∴f(x)≥0
代入，x=a/b,α=1/p，得
f(a/b)=(a/b)^(1/p)-(1/p)*(a/b)+1/p-1
當p>1時，即0<α<1：
(a/b)^(1/p)-(1/p)*(a/b)+1/p-1≤0
即(a/b)^(1/p)≤(1/p)*(a/b)+1/q
同時乘以b，得：
a^(1/p)*b^(1/q)≤(1/p)*a+(1/q)*b
當p<1時，即α<0(p1(0<p<1)
(a/b)^(1/p)-(1/p)*(a/b)+1/p-1≥0即(a/b)^(1/p)≥(1/p)*(a/b)+1/q
同時乘以b，得：a^(1/p)*b^(1/q)≥(1/p)*a+(1/q)*b
證明2：令f（a）=a^p/p+b^q/q-ab，
f′（a）=a^（p-1）-b
令f′（a）>0，分2種情況
1、p>1，a>b^（1/（p-1））
f（a）>=f（b^（1/（p-1）））=0
即a^p/p+b^q/q>=ab
2、0<p<1，a<=b^（1/（p-1））
f（a）<=f（b^（1/（p-1）））=0
即a^p/p+b^q/q<=ab
證畢
