柱的基本理論

兩端鉸支的柱作為偏心受壓直桿時（圖1a）。 圖1b中的實線示出了上式所示的P-δ關係;當P→Pcr=π2EI/L2時，桿的撓度迅速增長，且以水平線AB為漸近線。 柱的基本理論根據理想中心壓桿所得的臨界力稱為歐拉臨界力。

柱的基本理論

正文

柱在軸向荷載作用下，由於荷載的偶然偏心，柱本身有初始彎曲，材質不均勻等原因，從載入開始時起即發生壓縮與彎曲的組合變形,即使材料遵循胡克定律,但柱的橫截面上的彎矩以及柱的側向位移（撓度）均不與荷載成線性關係。柱的性能的理論研究可按兩種不同類型的計算簡圖進行。在第一類簡圖中把柱視作本身有初始彎曲的桿或荷載有偏心的直桿，第二類簡圖則把柱視作理想中心壓桿，即認為桿是絕對直的、材料絕對均勻、荷載亦無任何偏心。
有初始彎曲的桿或偏心受壓直桿　兩端鉸支的柱作為偏心受壓直桿時（圖1a）。根據小剛度桿的計算理論,任意橫截面上的彎矩為M=P(e+v),式中M為彎矩；P為荷載；e為偏心距；v為任意橫截面處桿的撓度。若桿的材料始終線上彈性範圍內工作，則由撓曲線近似微分方程EIv"＝－M＝－P(e＋v)可得桿的中點撓度δ與荷載P有如下非線性關係：

式中E為彈性模量;I為慣性矩；L為桿長。圖1b中的實線示出了上式所示的P-δ關係;當P→Pcr=π2EI/L2時，桿的撓度迅速增長，且以水平線AB為漸近線。事實上,撓度較大時就不能利用曲率的近似式1/ρ＝d2v/dx2,亦即不能利用撓曲線近似微分方程EIv"＝-M。如果利用曲率的精確表達式，則P-δ曲線將如圖 1b中虛線所示。

柱的基本理論

理想中心壓桿　把柱作為理想中心壓桿時（圖2a），若在分析中對桿不給予任何干擾，則P-δ曲線顯然為圖2b中的鉛垂線OAD;假設桿受到微小的干擾而彎曲,則由曲率的精確表達式1/ρ＝dθ/ds所列出的微分方程為，據此可求得P-δ曲線如圖2b中實線OABC所示。由此可知，對於理想的中心壓桿,當荷載P低於臨界值Pcr時桿保持直線形式，此時如果桿受到微小的干擾而彎曲，則干擾除去後桿即恢復原有的直線形式，即 P<Pcr時平衡的直線形式是穩定的。當P＞Pcr時，理想的中心壓桿有兩種可能的平衡形式；直線形式和彎曲形式；而直線形式的平衡是不穩定的，桿在任何微小的干擾作用下發生微彎後,就會繼續彎曲直至δ達到曲線ABC上與P相對應的值。當P＝Pcr時，直線OAD在A點與曲線OABC分叉,平衡是隨遇的，微小的干擾除去後桿仍保持在干擾作用時的位置上。以上分析均假設材料始終線上彈性範圍內工作。事實上，當荷載達到如圖2b中B點對應的值時,由於桿中最大應力達到彈性極限而桿所能承受的荷載迅速減小, P-δ曲線將沿虛線BE下降。這就是說,細長的理想中心壓桿所能承受的最大荷載僅稍高於臨界荷載Pcr。由於確定最大荷載需要冗長的計算，而確定臨界荷載比較簡單，所以在工程計算中，常把臨界荷載作為壓桿所能承受的最大荷載。

柱的基本理論

根據理想中心壓桿所得的臨界力稱為歐拉臨界力。當壓桿兩端為鉸支時,Pcr＝π2EI/L2。當端部約束條件不同時，柱的歐拉臨界力的計算公式可統一寫作

Pcr＝π2EI/(μL)2

式中μ為與端部約束條件有關的長度係數,μL稱為相當長度（有效長度）。將上式兩端除以柱的橫截面面積 A所得的應力，稱為歐拉臨界應力

σcr＝π2EI/(μL)2A＝π2E/λ2

式中稱為柱的柔度,也稱為柱的長細比。
求臨界力和臨界應力的歐拉公式按其導出的條件，只適用於臨界應力σcr不超過材料的比例極限σp,即π2E/λ2≤σp的情況，也就是即所謂細長柱的情況。對於λ<λp的中長柱和短柱,常採用經驗公式計算臨界應力。
參考書目
　王啟德著，林硯田等譯：《套用彈性理論》，機械工業出版社，北京， 1966。（Chi－Teh Wang， Applied Elasticity，McGraw-Hill，New York，1953.）

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