基本介紹
定義1 具有有限個元素的布爾代數稱為 有限布爾代數。
對於有限布爾代數，有以下的結論：對於每一正整數n，必存在含有2 個元素的布爾代數；反之，任一有限布爾代數，它的元素個數必為2的冪次。元素個數相同的布爾代數都是同構的。
有限布爾代數定義2 設是一個布爾代數，a∈B且a≠0，若任意x∈B，有x∧a=a或x∧a=0， 則稱元素a為原子。
顯然原子是0的覆蓋，且若元素a覆蓋0，則a必是原子 。
相關定理
有限布爾代數定理1 設是一個布爾代數，a, b∈B是B的原子。若a≠b，則a∧b=0 。
證明：假設a∧b≠0，由於a是原子，所以a∧b=b∧a=a。又b是原子，因此a∧b=b, 從而得到a=b，與已知條件a≠b矛盾。
有限布爾代數定理2 設是一個有限布尓代數，任意b∈B，若b≠0，則至少存在一個原子a，使得a<b。
有限布爾代數證明：如果b是原子，那麼由bb得證。
如果b不是原子,那麼必存在b使得0<b<b。如果b是原子，那么定理得證。否則,必存在b使得0<b<b<b。
有限布爾代數
有限布爾代數由於B有限,且有全下界0,故通過有限歩驟總可找到一個原子b，使得。它是中的一條鏈，其中b是原子，且b<b。
有限布爾代數
有限布爾代數
有限布爾代數
有限布爾代數定理3 設是一個有限布尓代數，任意b∈B，b≠0，令T(b)=是B中所有小於等於b的原子構成的集合，則，稱這個表示式為a的原子表示,且是唯一的表示，這裡的唯一性是指:若，則有
有限布爾代數 有限布爾代數 有限布爾代數定理4 ( Stone表示定理)設是一個有限布爾代數，S是B中的所有原子的集合，則和S的冪集代數(P(S),∪，∩，~，∅，S)同構。
由定理4可得如下推論:
推論1 有限布爾代數的元素個數必定等於 2 ，其中n是該布爾代數中所有原子的個數。
推論2 任何一個具有2 個元素的有限布爾代數都是同構的 。
