算法實例
函式f(x)±g(x)最小正周期的求法
定義法
概念:根據周期函式和最小正周期的定義,確定所給函式的最小正周期。
例1、求函式y=|sinx|+|cosx|的最小正周期.
解:∵ =|sinx|+|cosx|
=|-sinx|+|cosx|
=|cos(x+π/2)|+|sin(x+π/2)|
=|sin(x+π/2)|+|cos(x+π/2)|
=f(x+π/2)
對定義域內的每一個x,當x增加到x+π/2時,函式值重複出現,因此函式的最小正周期是π/2.(如果f(x+T)=f(x),那么T叫做f(x)的周期)。
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例2 、求函式的最小正周期。
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解:把看成是一個新的變數z,那么2sinz的最小正周期是2π。
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由於。所以當自變數x增加到x+4π且必須增加到x+4π時,函式值重複出現。
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∴函式的最小正周期是4π。
公式法
這類題目是通過三角函式的恆等變形,轉化為一個角的一種函式的形式,用公式去求,其中正餘弦函式求最小正周期的公式為T=2π/|ω| ,正餘切函式T=π/|ω|。
函式f(x)=Asin(ωx+φ)和f(x)=Acos(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的最小正周期都是;函式f(x)=Atan(ωx+φ)和f(x)=Acot(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的最小正周期都是,運用這一結論,可以直接求得形如y=Af(ωx+φ)(A≠0,ω>0)一類三角函式的最小正周期(這裡“f”表示正弦、餘弦、正切或餘切函式)。
例3、求函式y=cotx-tanx的最小正周期.
解:y=1/tanx-tanx=(1-tan^2· x)/tanx=2*(1-tan^2·x)/(2tanx)=2cot2x
∴T=π/2
函式為兩個三角函式相加,若角頻率之比為有理數,則函式有最小正周期。
最低公倍數法
設f(x)與g(x)是定義在公共集合上的兩個三角周期函式,T1、T2分別是它們的周期,且T1≠T2,則f(x)±g(x)的最小正周期T1、T2的最低公倍數,分數的最低公倍數=T1,T2分子的最低公倍數/T1、T2分母的最大公約數。
求幾個正弦、餘弦和正切函式的最小正周期,可以先求出各個三角函式的最小正周期,然後再求期最低公倍數T,即為和函式的最小正周期 。
例4、求函式y=sin3x+cos5x的最小正周期.
解:設sin3x、cos5x的最小正周期分別為T1、T2,則T1=2π/3,T2=2π/5 ,所以y=sin3x+cos5x的最小正周期T=2π/1=2π.
例5、求y=sin3x+tan2x/5 的最小正周期.
解:∵sin3x與tan2x/5 的最小正周期是2π/3與5π/2,其最低公倍數是10π/1=10π.
∴y=sin3x+tan2x/5的最小正周期是10π.
說明:幾個分數的最低公倍數,我們約定為各分數的分子的最低公倍數為分子,各分母的最大公約數為分母的分數。
圖象法
概念:作出函式的圖象,從圖象上直觀地得出所求的最小正周期。
例6、求y=|sinx|的最小正周期.
解:由y=|sinx|的圖象
可知y=|sinx|的周期T=π.
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例7、求下函式的最小正周期。
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(1)
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(2)
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解:(1)先作出函式的圖象(見圖1)
觀察圖象,易得所求的周期為T=π/3。
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(2)先作出的圖象(見圖2)
觀察圖象,易得所求的周期為T=π。
恆等變換法
概念:通過對所給函式式進行恆等變換,使其轉化為簡單的情形,再運用定義法、公式法或圖象法等求出其最小正周期 。
(1) f(x)=sin(x+π/3)cos(x-π/3)
(2) f(x)=sin x+cos x
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(3) f(x)=
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解 (1)
∴最小正周期為T= π
(2) f(x)=sin x+cos x
=(sin x+cos x)(sin x-sin xcos x+cos x)
=(sin x-sin xcos x+cos x)
=(sin x+cos x)2-3sin xcos x
=1-3/4sin x
=5/8+3/8cos4x
∴最小正周期為T=π/2
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(3)
它與-cos2x的周期相同,故得 f(x)的最小正周期為T=π
補充問題
函式f(x)=sin2x-4sin³xcosx(x∈R)的最小正周期為( B )
A.π/4 B.π/2 C.π D.2π