基本介紹
設m∈N，a∈Z，且(a，m)= 1，則稱滿足ax≡1(mod m)的整數x為a對模m的數論倒數，記為a (mod m)或a 或a′(mod m)或a′。
①a 定存在。
②a 不唯一。
③(a ，m)=1。
④(a ) ≡a( mod m)，(數論倒數是相互的)(均可由裴蜀定理得證) 。
相關結論及介紹
⑴整數a存在數論倒數a′(mod m)的充分必要條件是(a，m)=1 。
⑵數論倒數常用於求解同餘式組，例如，使用孫子定理求解同餘式組x≡b(mod m)，x≡b(mod m)，…，x≡b(mod m)時，此同餘式組的正整數解為
x≡bM′M+bM′M+…+bM′M(mod M)，
這裡M′就是滿足同餘式M′M≡1(mod m)(i=1，2，…，k)關於M(mod m)的數論倒數。式中M=mm…m=mM=mM=…=mM，M=M/m，且(M，m)=1 。
⑶設p為奇質數，對1<a<p-1在模p的意義下有
①1 =1，(p-1) =p-1。
②1<a <p-1。
數論倒數③若1<a<b<p-1，則a b (mod p)，因而2，3，...，p-2中的數，可按數論倒數兩兩配對。
事實上，若a =b (mod p)，則1≡ab (mod p)，進而b≡a(mod p)，與條件矛盾 。
孫子定理(中國剩餘定理)
在中國古代數學著作《孫子算經》中，有一道題目叫做“物不知數”：
有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二。問物幾何?
亦即，求正整數解x滿足:
x= 2mod3
= 3mod5
= 2mod7
在1247年，中國數學家秦九韶做出了完整的解答，口訣如下：
三人同行七十希，五樹梅花廿一支，七子團圓正半月，除百零五便得知。
這個解法實際上是，首先利用秦九韶發明的“大衍求一術”求出5和7的最低公倍數35的倍數中除以3餘數為1的最小一個數70 (這個數稱為35相對於3的數論倒數)，3和7的最低公倍數21相對於5的數論倒數21，3和5的最低公倍數15相對於7的數論倒數15。然後計算
70x2+21x3+15x2= 233
233便是可能的解之一。它加減3、5、7的最低公倍數105的若干倍仍然是解，因此最小的解為233除以105的餘數23。以上解法若推廣到一般情況，便得到了中國剩餘定理（孫子定理） 。
中國剩餘定理(Chinese Remainder Theorem，CRT)：
數論倒數
數論倒數
數論倒數設 為兩兩互質的正整數，則對任意的整數 ，存在整數x，使得x≡c(mod m)(1≤i≤k)同時成立。並且在模 的意義下，上述同餘方程組的解是唯一的， 可表示為x≡x(mod m₁m₂...m)，其中x可以
數論倒數
數論倒數
數論倒數這樣確定：令: 是 關於模 的數論倒數。則 。
