倒數[數學學科術語]

倒數[數學學科術語]

倒數(reciprocal / multiplicative inverse)讀(dào shù),是指數學上設一個數x與其相乘的積為1的數,記為1/x,過程為“乘法逆”,除了0以外的數都存在倒數, 分子和分母相倒並且兩個乘積是1的數互為倒數,0沒有倒數。

基本信息

實數的倒數

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1.求一個分數的倒數,例如 ,我們只須把 這個分數的分子和分母交換位置,即得 的倒數為 ;

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2.求一個整數的倒數,只須把這個整數看成是分母為1的分數,然後再按求分數倒數的方法即可得到。如12,即 ,再把 這個分數的分子和分母交換位置,把分子做分母,分母做分子,則有,即12倒數是 ;

3.說明:倒數是本身的數是1和-1,正數的倒數是正數,負數的倒數是負數,0沒有倒數;

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4.把0.25化成分數,即 ,再把 這個分數的分子和分母交換位置,把原來的分子做分母,原來的分母做分子.則是 ,再把 化成整數,即4.所以0.25是4的倒數。也可以說4是0.25的倒數.也可以用1去除以這個數,例如0.25,1/0.25等於4,所以0.25的倒數4;

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5.求 倒數約分問題。在求倒數過程中,可約分的要約分,如,約分以後成,最後將其分子分母調換位置,得到,即為的倒數;

因此 乘積是1的兩個數 互為倒數。

圖1.倒數的單位元投影演示 圖1.倒數的單位元投影演示

 

數論倒數

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而在數論中,還有數論倒數的概念,如果兩個數a和b,它們的乘積關於模m餘1,那么我們稱它們互為關於模m的數論倒數。比如 ,所以3是2關於5的數論倒數.數論倒數在中國剩餘定理中非常重要。而輾轉相除法提供了計算數論倒數的方法。

群論中倒數

近世代數中有群,域,環等概念,其中定義了抽象的乘法運算和單位元.同樣的,關於其乘法如果有乘法逆,同樣可以看成是倒數。

特點

倒數的特點:一個正實數(1除外)加上它的倒數 一定大於2。

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理由: , 為倒數當 時 一定大於1,可寫為 因為 ,又因為 ,所以 ,所以 ,所以 ,所以一個正實數加上它的倒數一定大於2。

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當 時也一樣。

同理可證,一個負實數(-1除外)加上它的倒數一定小於-2。

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求證:a,b均為非1正實數,且a不等於b,和互為倒數,。

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證明:因為,,所以,又因為a,b均為非1正實數,且a不等於b,所以,,所以,所以,即。

解題

在四則混合運算中,有時會用到倒數來解題,正規解起來很麻煩。

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例如:計算

第一種方法:

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解:原式的倒數=

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=

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=

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=

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=.

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所以,原式=.

第二種方法:

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解:=

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=

它的倒數為

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= 因為此處0不可以作為除數,顧用乘法代替。

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=

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=

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所以,原式=.

負倒數

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乘積為-1的兩個實數互為負倒數,實數x的負倒數記為或。一個實數的倒數和其負倒數是相反數,0沒有倒數或負倒數。

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