數論、群論、有限域
作者：周煒圖書詳細信息：
ISBN：9787302344551定價：45元
印次：1-1
裝幀：平裝
印刷日期：2013-12-11
圖書簡介：
本書系統地研究了基礎數論、群論和有限域理論。全書分為11章： 集合與函式，整除性理論，數論函式，不定方程，同餘式，二次剩餘，原根和離散對數，群論，環、域與多項式，有限域，有限域上的線性遞歸序列。本書包含了作者多年來的教學經驗和研究成果，許多結果是首次公開發表。全書內容豐富，體系完整，論證嚴謹，行文流暢，深入淺出，特色鮮明。本書可以作為密碼學、數學、信息對抗、計算機科學與技術及相關專業研究生和本科生的教材，也可作為其他各專業、各層次的師生和工程技術人員的參考書或自學用書。
前言
數論是數學的一個重要分支，而群論和有限域理論是數學重要分支——近世代數學的重要組成部分。群論的研究往往要用到基礎數論的結果，而有限域理論的研究更是離不開群論的一些重要結果。數論、群論和有限域理論在組合學、密碼學、編碼學、理論物理、開關電路設計、信息安全和信息對抗等領域有著廣泛的套用。隨著數位化、網路化、信息化時代的到來和信息技術的進步，這些理論在信息安全和信息對抗領域的套用變得越發重要。因此，涉及數論、群論和有限域理論的知識學習和課題研究必然受到人們更多的重視。而在國內這方面現存的教科書較少，且內容往往過於專業和深奧，因而不能完全滿足非專門從事這方面研究的各專業、各層次研究人員和工程技術人員的需要。這就要求有一批新穎的、特色鮮明的、深入淺出的、便於學習、掌握和套用的有關數論、群論和有限域理論的教科書面世。本書正是作者在這方面的努力。
本書內容分為11章： 集合與函式，整除性理論，數論函式，不定方程，同餘式，二次剩餘，原根和離散對數，群論，環、域與多項式，有限域，有限域上的線性遞歸序列。每章又分為若干節和小節。這些章節有些內容比較淺顯，有些內容難度適中，但也有些內容閱讀起來有一定的困難，初學者可以暫時繞過，比如二元二次不定方程、Sylow定理、Pólya基本定理、有限域上多項式的因式分解、有限域上周期序列的線性複雜度等。每章後面配有一定數量難度不一的習題，可供選做。
本書可以作為密碼學、數學、信息對抗、計算機科學與技術及相關專業研究生和本科生的教材，也可作為其他各專業、各層次師生和工程技術人員的參考書或自學用書，打*號的內容供選學。若作為教材，學時安排建議：研究生48學時，本科生64學時，同時根據實際情況和內容聯繫進行取捨。
本書部分內容已在空軍工程大學防空反導學院計算機科學與技術專業博士生、碩士生和本科生中講授多年。但由於作者水平有限，書中一定還有尚未發現的錯誤、缺點和紕漏，懇請廣大讀者批評指正，作者不勝感激！
作者2013年10月
目錄
第1章集合與函式11.1集合論基礎1
1.2函式、置換的循環分解3
1.2.1函式的基本概念和一般性質3
1.2.2置換的循環分解5
1.3對合映射不動點定理8
1.4等價關係9
1.5容斥原理、鴿巢原理和多項式定理11
1.6習題13
第2章整除性理論16
2.1整數的整除性16
2.2最大公約數和最低公倍數17
2.3連分數21
2.3.1實數的連分數表示21
2.3.2實數的近似分數22
2.3.3近似分數的既約性24
2.3.4近似分數的誤差估計24
2.3.5整數線性組合ax-by=1的生成25
2.4素數、二平方定理、算術基本定理26
2.5習題32
第3章數論函式35
3.1[x]與{x}35
3.2積性函式40
3.3因子數τ(n)與因子和S(n)41
3.4Euler函式?(n)42
3.5M?bius函式和M?bius反演定理43
3.5.1M?bius函式及其性質43
3.5.2M?bius反演定理44
3.6習題44
第4章不定方程46
4.1二元一次不定方程46
4.2三元一次不定方程48
4.3勾股數定理49
4.4二元二次不定方程x2+2y2=z250
?4.5二元二次不定方程 x2-Dy2=n51
4.5.1一般性質51
4.5.2Pell方程54
4.5.3二元二次不定方程x2-Dy2=n求解58
4.6習題64
第5章同餘式65
5.1同餘式的定義與性質65
5.2完全剩餘系和縮剩餘系67
5.3一元一次同餘方程72
5.4一元一次同餘方程組、中國剩餘定理74
?5.5一元多項式同餘方程75
5.6習題78
第6章二次剩餘81
6.1二次剩餘的基本定理81
6.2Legendre符號85
6.3Jacobi符號89
6.4習題92
第7章原根和離散對數93
7.1整數a關於模m的乘法階93
7.2原根的概念和基本性質96
7.3原根的基本定理98
7.4離散對數103
7.5公鑰密碼104
7.5.1RSA公鑰密碼算法104
7.5.2Rabin二次剩餘方案105
7.5.3ELGamal算法106
7.6習題107
第8章群論108
8.1半群、商半群、半群同態108
8.1.1半群的基本概念108
8.1.2亞群中元素的階111
8.1.3半群上的同餘關係、商半群113
8.1.4半群同態114
8.2群的基本概念115
8.3子群、正規子群、商群117
8.4群的同態和同構121
8.5循環群和Abel群124
8.6Burnside引理和P?lya定理127
8.6.1Burnside引理127
8.6.2P?lya定理130
?8.7Sylow定理135
8.8習題142
第9章環、域與多項式145
9.1環與整環145
9.2交換整環上的M?bius反演定理148
9.3域的基本概念149
9.4域的同構150
9.5素環、域的特徵151
9.6線性空間和線性變換152
9.7子域156
9.8域上的多項式環157
9.8.1多項式和多項式函式157
9.8.2Euclid除法和多項式同餘163
9.8.3最大公因子166
9.9代數基本定理、形式導數169
9.10既約多項式171
9.11域的擴張173
9.12多項式環的分式域176
9.13習題179
第10章有限域182
10.1有限域的概念、本原元182
10.2有限域的子域189
10.3有限域上變換的多項式函式表示190
10.4有限域中元素關於子域的最小多項式191
10.4.1非零元素的次數和共軛元191
10.4.2元素關於子域的最小多項式192
10.5有限域上的既約多項式196
10.6有限域的存在性和唯一性200
10.7有限域中元素的跡和范201
10.8有限域上的線性變換204
10.9有限域關於子域的基207
10.9.1多項式基和正規基207
10.9.2對偶基210
?10.9.3偽對偶基和弱對偶基217
10.10有限域上若干方程的求解223
10.11有限域上的分圓多項式224
10.12有限域上多項式的因式分解227
?10.13有限域上的置換多項式237
10.14習題241
第11章有限域上的線性遞歸序列244
11.1線性遞歸序列的基本理論244
11.2有限域上線性反饋移位暫存器序列的周期性253
11.3有限域上周期序列的跡表示254
11.3.1特徵多項式為既約多項式的情形254
11.3.2特徵多項式無重因子的情形261
11.3.3一般情形264
11.4有限域上的m?序列269
?11.5有限域上周期序列的線性複雜度270
11.6習題284
索引287
參考文獻290
