拆分數估計

整數的拆分問題，即將正整數n分解為若干個正整數的和。不考慮起求和的順序。正整數的一種拆分可以理解為將n個無區別的球，放入n個無區別的盒子，其每種方案就是一種拆分。一般來說現在整數的拆分問題求解的常用工具是母函式和Ferrers圖像 。整數拆分在組合數學、群論、機率論、數理統計學等方面都有重要套用，但當n比較大時，計算機複雜度高，所以這裡給出一種關於拆分數估計的定理與證明，便於拆分數的推廣與套用。

拆分數估計定理

正整數n拆分成若干個正整數之和，其不同的拆分數用p(n)表示，{p(n)}的母函式為：

拆分數估計

則拆分數估計可以表示為：

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證明

令

拆分數估計

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根據馬克羅林級數：

拆分數估計

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所以：

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而

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又由於

所以有下式成立：

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因此有

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所以

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但是

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所以

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設 有

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曲線y=lnx是向上凸的，所以曲線y=lnx在（1，0）的切線為y=x-1,即有 .

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所以

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對於 ，令其一階導 ，方程的解為

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又因為y的二階導 ,所以y的極小值為

所以

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套用

1.一般情況下，p(n)的遞推關係比較複雜，但很多情況我們往往不需要知道確切的拆分數，我們可以用拆分數估計定理來估計拆分數的上界；p(n)的漸進公式也是很多學者研究的課題。

2. 圖論，組合論等領域中有廣泛套用。