定義
快速小波轉換它具有有限生成的正交多分辨分析（MRA）的裝置作為理論基礎。在那裡給出的術語中，選擇採樣率為每單位間隔2J的採樣比例J，並將給定信號f投影到空間
快速小波變換理論上通過計算標量產品。
快速小波變換其中 是所選小波變換的縮放函式;實際上，在信號被高度過採樣的情況下，通過任何合適的採樣程式，所以
快速小波變換
快速小波變換是 中的原始信號的正交投影或至少一些好的近似。
MRA的特徵在於其縮放序列
快速小波變換及其小波序列
快速小波變換
快速小波變換
快速小波變換
快速小波變換或 （某些係數可能為零）。那些允許計算小波係數 ，至少某些範圍k = M，...， J-1，無需近似相應標量積中的積分。相反，在卷積和抽取運算元的幫助下，可以直接從第一個近似 計算這些係數 。
前項離散小波轉換
快速小波變換一個遞歸計算，從係數序列 開始並從k = J-1倒計數到某個M <J，
快速小波變換
快速小波變換對於k = J-1，J-2，...，M和所有 。在Z變換表示法中：
快速小波變換
快速小波變換
快速小波變換下採樣運算符（↓2）減少了一個無限序列，由其Z變換（簡稱為Laurent級數）給出了具有偶數索引的係數序列
。加星標的Laurent多項式表示伴隨濾波器，它具有時間反轉的伴隨係數（實數的伴隨是數字本身，它是一個複數的共軛，是一個實矩陣的轉置矩陣，是一個複雜矩陣的偶然伴隨）。
乘法是多項式乘法，相當於係數序列的卷積。
它遵循
快速小波變換
快速小波變換
快速小波變換是原始信號f或至少第一近似值 到子空間的正交投影 ，即每單位間隔採樣率為2k。與第一近似的差異由下式給出：
快速小波變換其中差異或細節信號是從細節係數計算的
快速小波變換
快速小波變換用 表示小波變換的母小波。
離散小波變換
在數值分析和功能分析中，離散小波變換（DWT）是對小波進行離散採樣的任何小波變換。與其他小波變換一樣，它相對於傅立葉變換具有的一個關鍵優勢是時間解析度：它捕獲頻率和位置信息（時間位置）。
信號x的DWT通過將其傳遞給一系列濾波器來計算。首先，樣本通過一個脈衝回響g的低通濾波器，導致兩者卷積：
快速小波變換使用高通濾波器h同時分解信號。 輸出給出細節係數（來自高通濾波器）和近似係數（來自低通）。重要的是兩個濾波器彼此相關，它們被稱為正交鏡像濾波器。
然而，由於信號的一半頻率現已被刪除，根據奈奎斯特的規則，可以丟棄一半的樣本。然後，上圖中的低通濾波器g的濾波器輸出被2進行二次採樣，並通過再次通過新的低通濾波器g和傳遞濾波器h，其截止頻率是前一個截止頻率的一半，即：
快速小波變換
快速小波變換這種分解使時間解析度減半，因為每個濾波器輸出只有一半表徵信號。但是，每個輸出都有輸入頻帶的一半，因此頻率解析度增加了一倍。
使用子採樣運算符↓
快速小波變換上述總結可以寫得更簡潔。
快速小波變換
快速小波變換
快速小波變換然而，計算完整的卷積以及隨後的下採樣會浪費計算時間。提升方案是這兩個計算交錯的最佳化。
