定義
快速小波轉換它具有有限生成的正交多分辨分析(MRA)的裝置作為理論基礎。在那裡給出的術語中,選擇採樣率為每單位間隔2J的採樣比例J,並將給定信號f投影到空間
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理論上通過計算標量產品。
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其中 是所選小波變換的縮放函式;實際上,在信號被高度過採樣的情況下,通過任何合適的採樣程式,所以
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是 中的原始信號的正交投影或至少一些好的近似。
MRA的特徵在於其縮放序列
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及其小波序列
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或 (某些係數可能為零)。那些允許計算小波係數 ,至少某些範圍k = M,..., J-1,無需近似相應標量積中的積分。相反,在卷積和抽取運算元的幫助下,可以直接從第一個近似 計算這些係數 。
前項離散小波轉換
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一個遞歸計算,從係數序列 開始並從k = J-1倒計數到某個M <J,
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對於k = J-1,J-2,...,M和所有 。在Z變換表示法中:
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下採樣運算符(↓2)減少了一個無限序列,由其Z變換(簡稱為Laurent級數)給出了具有偶數索引的係數序列
。加星標的Laurent多項式表示伴隨濾波器,它具有時間反轉的伴隨係數(實數的伴隨是數字本身,它是一個複數的共軛,是一個實矩陣的轉置矩陣,是一個複雜矩陣的偶然伴隨)。
乘法是多項式乘法,相當於係數序列的卷積。
它遵循
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是原始信號f或至少第一近似值 到子空間的正交投影 ,即每單位間隔採樣率為2k。與第一近似的差異由下式給出:
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其中差異或細節信號是從細節係數計算的
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用 表示小波變換的母小波。
離散小波變換
在數值分析和功能分析中,離散小波變換(DWT)是對小波進行離散採樣的任何小波變換。與其他小波變換一樣,它相對於傅立葉變換具有的一個關鍵優勢是時間解析度:它捕獲頻率和位置信息(時間位置)。
信號x的DWT通過將其傳遞給一系列濾波器來計算。首先,樣本通過一個脈衝回響g的低通濾波器,導致兩者卷積:
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使用高通濾波器h同時分解信號。 輸出給出細節係數(來自高通濾波器)和近似係數(來自低通)。重要的是兩個濾波器彼此相關,它們被稱為正交鏡像濾波器。
然而,由於信號的一半頻率現已被刪除,根據奈奎斯特的規則,可以丟棄一半的樣本。然後,上圖中的低通濾波器g的濾波器輸出被2進行二次採樣,並通過再次通過新的低通濾波器g和傳遞濾波器h,其截止頻率是前一個截止頻率的一半,即:
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這種分解使時間解析度減半,因為每個濾波器輸出只有一半表徵信號。但是,每個輸出都有輸入頻帶的一半,因此頻率解析度增加了一倍。
使用子採樣運算符↓
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上述總結可以寫得更簡潔。
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然而,計算完整的卷積以及隨後的下採樣會浪費計算時間。提升方案是這兩個計算交錯的最佳化。