利用上述不等式可知，若不等式(1)對於n=2n，成立，可推出(1)式對於n-1也成立.循環不等式最簡單的n=3的情形，早在1903年就由內斯比特(Nesbitt , A. M.)提出.夏皮羅與費爾普斯(Phelps , C. R.)分別給出了n=3,4和n=5
的證明.1958年英國著名數學家莫德爾(Mordell ,L. J.)證明了n=3,4,5,6時，(1)式是成立的，並提
出猜想:對非對稱的二可能會發現，在n妻7時，有使(1)式不成立的反例.朱洛夫((Zulauf,A.)在莫德爾的這篇論文一篇短的註記，給出了一個反例，證明了(1)式對於n=14不成立.1963年，多柯威克(Dokovic,D. Z.)證明了n=8時，(1)式成立.1968年，諾沃賽德(Nowosad , P.)證明了n=10時，<1)式成立.1976年，戈杜諾瓦((iodunova, E.K.)和萊文(Levin, V. I.)證明了n=12時，<1)式成立.由前述性質(2)可知，由n=8,10,12時，(1)式成立可推出n=7,9,11時，(1)式也成立.1985年，特羅斯(Troesch , B. A.)證明了n=13時，(1)式是成立的.至此，對於n(13, (1)式均成立.1960年，赫松(Herschorn, M.)和佩克(Peck ,J. E. L.)繼朱洛夫之後，又給出了n=14的另一個反例.這些反例的結構如下:設n=2m，取二。= akE,rgk-1 -1TfJk } E，式中k=1,2,""",m一是充分小的正數.ail
根據性質(1)，由n=14時，(1)式不成立可推出所有不小於14的偶數n,(1)式都不成立.早在1956年，萊特希爾(Lighthill , M. J.)就構造出反例證明了n=20時，<1)式不成立.1963年，戴安南達(Di-ananda,P.H.)證明了n=27時，(1)式不成立.由性質((1)知，對於所有不小於27的奇數n,Cl)式都不成立.1971年，戴金(Daykin, D. E.)與馬爾科姆
(Malcolm , M. A.)分別獨立地證明了n=25時，<1)式不成立，到1985年尚未確定真偽的n值只剩下下列5個:15,17,19,21,23.1989年10月，特羅斯一舉證明了上述5個n值，對(1)式成立.至此，使夏皮羅循環不等式猜想成立的n值有且僅有下列16個: 3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，15，17，19，21，23.
