復直線

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復直線(complex line)是射影幾何的基本概念之一,指以複數為坐標的直線,設直線的坐標為[u₁,u₂,u₃],若u₁,u₂,u₃與三個不全為零的實數成比例,則稱[u₁,u₂,u₃]為實直線。若u₁,u₂,u₃不與任何三個不全為零的實數成比例,則稱[u₁,u₂,u₃]為虛直線。實直線與虛直線合稱為復直線。在平面上引進復點以後,復直線便是坐標滿足直線方程的復點的全體。例如,[1,0,2]與[i,0,2i]為同一條實直線,[i,1,1]是一條虛直線,(0,1,-1)與(i,1,0)都是這直線上的點 。

基本概念

復點、復直線 以複數為坐標的點或直線稱為復點或復直線。

復元素 復點和復直線統稱復元素。

復直線 復直線
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共軛復元素 若 為一元素的齊次坐標時, 為另一同類元素的齊次坐標,則此二元素叫做共軛復元素。

兩個非無窮遠共軛復元素,其非齊次坐標必為共軛複數。

兩個共軛復元素的齊次坐標不一定為共軛複數,原因是齊次坐標可以相差一個常數因子 。

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復點 和復直線 的結合關係為

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相關概念

如果x,y這兩個數都是複數,那么就稱(x,y)為一個 有窮遠復點;如果x,y至少有一個是虛數,則稱(x,y)為一個 有窮遠虛點;如果x,y都是實數,則稱(x,y)為一個 有窮遠 實點

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可對有窮遠復點(x,y)定義齊次坐標為:如果複數 滿足 ,則稱( )為有窮遠復點(x,y)的齊次坐標.此時 。如果 為複數,則稱 為無窮遠復點的齊次坐標。有窮遠復點與無窮遠復點統稱為復點。所有復點的集合稱為復射影平面。復點的齊次坐標不是唯一;同一復點的齊次坐標可以相差一個非零復因子;(0,0,0)不是任何復點的齊次坐標。

下面我們用i表示虛數單位。

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一個虛齊次坐標有可能代表一個實點。例如(i,2i,-i)就代表實點(-1,-2)。一個復齊次坐標( 鉑)代表實點的充分必要條件是它與實齊次坐標( )成比例。

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滿足齊次方程 的復點( )的集合稱為 復直線,其係數[ ]稱為該復直線的齊次坐標。

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設復點P的齊次坐標為( ),則稱齊次坐標為的點為點P的共軛復點;設復直線l的齊次坐標為[],則稱齊次坐標為]的復直線l為復直線l的共軛復直線。

我們把點I(1,i,0)和點J(1,-i,0)叫做 圓點,過圓點I或J的直線叫做 迷向直線

共軛復點和共軛復直線統稱為 共軛復元素。注意,一對同類共軛復元素的齊次坐標不

必為共軛複數,因為同一點的齊次坐標可以相差一個非零複數。例如(2,i,1-i)與(2+2i,1-i,2i)是一對共軛復點的齊次坐標,這是因為

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(2+2i,1-i,2i)=(1+i)(2,-i,1+i)=.

但顯然(2,i,1-i)與(2+2i,1-i,2i)不是共軛複數 。

相關定理

定理1 一元素為實元素的充要條件是該元素與其共軛復元素重合。

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定理2 如果一點x在一直線u上,則共軛復點必在共軛直線上。

定理3 兩共軛復直線的交點為一實點,兩共軛復點的連線為一實直線。

推論 在一復直線上有唯一一個實點,過一復點有唯一一條實直線 。

註:一實直線上的點或為實點或為一共軛復點;過一實點的直線或為一實直線或為一共軛復直線。

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