季節性預測法

tification tification tification

【摘要】

目的：探討季節性疾病的建模預測問題。方法：多段函式殘差辨識的灰色建模方法。結果：經後驗差比值和小誤差機率檢驗知該模型預測精度為第一級“好”。結論：實例證明該模型有計算簡便、對資料要求不嚴、適應範圍較寬、殘差信息利用率及擬合預測精度較高等特點，可用於季節性疾病發病時間序列的建模預測。

【關鍵字】

多段函式殘差辨識殘差信息季節性序列建模預測
TheApplicationoftothePartionalFunctionIdentificationGrayMethodinthepredictionoftheseasonaldisease

Yukaiwen（TheMachengCentersforDiseaseControlandPrevention,HubeiProvince438300,China）

【Abstract】

Objective:toexplorethemodelingandpredicatingprobleminseasonaldistributioncharacteristicdiseaseMethod:applytothePartionalFunctionIdentification′sgraymodelingmethodResults:theforecastprecisionisthefirst-grade“good”byposteriorerrorratioandsmallerrorprobabilitytestknowledgethat,Conclusion:Theexampleprovedthismodelhasthecomputationtobesimple,islaxtothematerialrequest,theadaptationscopeiswide,thehighutilizationrateofresidualinformationandthefittingprecisionishigheretc,canbeusedforthemodelingforecastintheseasonaltime-seriesoftheinfectiondisease．

【Keywords】

partionalfunctionidentificationresidualinformationseasonalseriesmodelingforecast

1引言

受流行因素的影響，大多數疾病的發病時間序列都呈現出季節性與周期性特徵。對這類資料進行定量分析，如用線性回歸模型、隨機時間序列模型和單區間GM（1,1）模型進行預測，則模型都僅考慮了序列的增長趨勢性，而忽視了疾病發生時間序列的季節性與周期性特徵，這顯然不是我們期望的，而另外一些模型如比例波動模型、ANN模型等也僅考慮了疾病的季節性特點，卻忽視了序列的趨勢性特徵。這同樣使我們很難得到理想的預測結果。針對這一問題，本文套用多段函式殘差辨識法，將隱藏在序列中的趨勢項、周期項和隨機項等信息挖掘出來，並利用這一信息逐步地修正、調整和提高模型的擬合性能，最後建立分段時間序列GM模型群的逐級多次殘差擬合修正模型。通過實例套用，該模型能較好地提高季節性疾病的預測精度。

2建模原理與建模過程

21設有一時序觀察列{x(t),t∈T}，將其按時區周期τ分段，構造具有季節周期性特徵的數據矩陣（見表1），相應有矩陣向量序列：

Xm1（t）,Xm2（t）,Xm(n-1)（t）,Xmn（t）

YN(t)=∑n-1i=1biXi（t）+b

對該向量序列可構造灰色模型：

22按照分段殘差的概念，對上式作如下擬合：

YN（t）=［Xn-1(t-τ)Xn-k(t-kτ)］δ1（t）+Δn+j（t）

Δn+j（t）=［Xn-2(t-τ)Xn-k-1(t-(k+1)τ)］δ2（t）+Δn+j-1（t）

Δn+j+(j-2)=［Xn-j(t-jτ)Xn-k-j+1(t-(k+j-1)τ)］δj（t）+Δn+1（t）

上述各擬合式中：k為擬合階數；j(=n-k)為擬合次數；τ為時矩；δj（t）為待辨識參數向量。［Xn-j(t-jτ)Xn-k-j+1(t-(k+j-1)τ)］為M*k階向量矩陣。Δn+j（t），Δn+j-1（t），…Δn+1（t）分別為濾出趨勢值、周期項值和隨機誤差值後的各級擬合殘差。

將上述各式綜合起來，並引入q步後移運算元q-1:q-1Xn-k(t-τ)=Xn-k(t-2)τ,可得：

Xn(t)=［Xn-1(t-τ)Xn-k(t-kτ)］δ1（t）+q-1［Xn-2(t-τ)…Xn-k-1(t-kτ)］δ2（t）+…
q-(j-1)［Xn-j(t-τ)Xn-k-j+1(t-kτ)］δj（t）+Δn+1（t）

=∑j-1v=0(q-1)［Xn-v-1(t-τ)…Xn-v-1(t-kτ)］δv+1（t）+Δn+1（t）…………(1)

此即多段函式殘差辨識擬合模型(thePartionalFunctionIdentificationmethod)，記為PFI(k,j,τ)模型。式中δj（t）待辨識參數須按下面步驟依次擬合求解：

第一步求趨勢值的近似擬合值YN

N（t）=［Xn-1(t-τ)Xn-k(t-kτ)］δ1（t）………………(2)

和分離趨勢項後的一階殘差實際值：

Δn+j（t）=YN（t）-［Xn-1(t-τ)Xn-k(t-kτ)］1（t）………………（3）

第二步求一階殘差Δn+j的近似擬合值n+j：

n+j=［Xn-2(t-2τ)Xn-k-1(t-（k+1)τ］δ2（t）………………（4）

和濾出趨勢項與周期項後的實際殘差值：

Δn+j-1（t）=Δn+j（t）-［Xn-2(t-2τ)Xn-k-1(t-（k+1)τ］2（t）……………（5）

第三步求j階殘差Δn+j-(j-2)的近似擬合值:
n+j-(j-2)（t）=［Xn-j(t-jτ)Xn-k-j+1(t-（k+j-1)τ］j（t）………………(6)

和剩餘誤差的實際殘差值：

Δn+1=Δn+2［Xn-j(t-jτ)Xn-k+j+1(t-（k+j-1)τ］δj（t）………………（7）

用最小二乘法依（2）、（4）、（6）擬合式依次求得相應的待辨識參數向量δ（t）和依（7）式求得末級剩餘誤差Δn+1後，代入（1）式即可得PFI(k、j、τ)擬合模型。所得模型累減還原並將下標外推一步即得下列預測模型：

n+1(t)=∑j-1v=0(q-1)v［Xn(t-τ)Xn-k-1(t-kτ)］v+1（t）+n+1（t）……（8）

3套用實例

表1是我市1987~1991年痢疾的季節發病情況，先根據1987~1990年的資料建立PFI(k、j、τ)模型，並預測1991年的發病數。

表11987~1991年痢疾發病季節統計（圓括弧內為累加生成數）

19871988198919901991
Xm1Xm2Xm3Xm4Xm5
一季4661（107）49（156）47（203）42（248）
二季99100（199）87（286）97（383）98（481）
三季845485（1330）397（1727）471（2198）511（2709）
四季241404（645）195（840）286（1126）295（1421）
本例中擬合次數j=n-k=4-2=2次，按上述擬合步驟（1）-（8）式計算待辨識向量δ（t）與末級殘差Δn+1，得預測模型及其預測值結果（見表2）。

表21991年季度觀察值與預測值分析比較

實際值預測值差值小機率誤差P=p{︱
εn-εΙ＜06745S1}
一季424100181099819＜06745S1，P=1
二季981002912-229120＜06745S1，P=1
三季51150062931037070＜06745S1，P=1
四季2952937372126280＜06745S1，P=1
均值23652339149258512——
方差根1842451——470799——
利用後驗差法檢驗上述預測結果的準確性，由表2知：後驗差比值C=S2/S1=470799／1842451=0025553，小誤差機率P=p{︱εn-Ι＜06745S1}=4/4=1,＞095,查精度表知，預測精度為第一級“好”，表明模型預測效果十分良好，完全可套用於實際預測工作。

4討論

多段函式殘差辨識是數據殘差辨識的發展。由本文實例知，（1）、（8）二式實為多區間向量序列去首加權累加生成模型，理論上屬於微分動態模型，但不同於其他模型的是其在建模過程中，由於該模型通過特有的多級殘差擬合有效地開發和利用了殘差信息，以不斷地調整和修正擬合模型，使模型的預測精度和效果得以提高。因此，與其他模型相比，該模型有如下許多特點：①計算簡便，有一個很方便的遞推公式；②對資料的要求不嚴，適應範圍較寬，對季節變化穩定或不穩定的序列均可適用；③模型精度較高；④殘差信息利用率高，有利於系統的量化分析；⑤不足的是預測期短，模型參數需按資料的更新而不斷調整、變化。

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