單真因子序列
真因子序列和真因子圈的思想可以套用於僅對單因子求和的
情形，從而產生所謂的單真因子序列(unitary aliquot sequence)和
單交際數(unitary sociable number)．當考慮的僅僅是對單因子求
和時，就用σ*(n)和s*(n)來取代對應的函式σ*(n)和s*(n)(與
B3比較)．
是否存在無界的單真因子序列?對此作出估計要比在通常真
因子序列的情形有更高的技巧．僅有的值得認真考慮的序列是包
含6的奇倍數的序列，6既是一個單完全數，也是一個通常的完全
數．如果3‖n，序列趨於增加，但當存在3的高次冪時，序列將減
小，何種情形將起主導作用則是值得研究的問題．一旦序列有一項
是6m(m為奇數)，那么口σ*(6m)就是6的偶倍數，而s*(6m)則
再次是6的奇倍數(除了在m是4的某個奇次冪這種極端罕見的
情形之外)．
te Ride致力於尋求n<10^5的所有單真因子序列．僅有的一
個不終止的也即變成周期性循環的序列是89610．此後的計算表
明，它在第568項達到最大值
645 856907 610421 353834=2·3^9·13·19·73·653·
並終止於第1129項．
不到你所期待的素因子個數很大的時候，很難指望會有典型
的性狀出現．因為這個數有ln ln(n)這么大，這種序列常會超出計算機的能力範圍．對接近10^12的80個序列作檢查發現，所有序列都
終止或變成周期性循環的，其中有一個序列超過了10^23．
單親和數對和單交際數可能比它們的通常的對應物(指親和
數對和交際數)出現得更加頻繁．Lal，Tiller和Sum—
mers發現了周期為1，2，3，4，5，6，14，25，39以及65的圈．單親和
數對的例子是(56430，64530)和(1080150，1291050)，而(30，42，
54)是一個3—圈，(1482，1878，1890，2142，2178)是一個5—圈．
Cohen找到了62個無窮元親和數對，
每一對中較小的數均小於一百萬，以及8個階為4的無窮元真因
子圈和3個階為6的無窮元真因子圈．其他像這樣階小於17且最
小元素小於一百萬的僅有的圈是周期為11的圈：
448800，696864，1124448，1651584，3636096，6608784
5729136，3736464，2187696，1572432，895152．
DavidPenney和CarlPomerance提出一種可能是無界的真因
子序列，它基於Dedekind函式.
Erdёs在尋找其疊代可能有界的數論函式時，建議定義ω(n)=
n Σ1/p(i)^a(i)，其中n=Πp(i)^a(i)，而Wk(n)=ω(ω(k-1)(n))．注意
到ω(n)⊥n．是否可以證明Wk(n),k=1，2，…是有界的呢?是
否有序列函式
Erdёs和Selfridge稱n為一個數論函式f(m)的障界(barrier)，如果對所有m<n有m+，f(m)≤n。Eulerqa函式和函式σ(m)增長得太快，因而不可能有障界，但是Ω(m)有無窮多
個障界嗎?數2，3，4，5，6，8，9，10，12，14，17，18，20，24，26，28，
30，…都是Ω(m)的障界．n(m)有無窮多個障界嗎?Selfridge注
意到99840是Ω(m)的小於10^5的最大的障界．Ma,kowski發現，
對每個函式而言n=1都是一個障界，對每個滿足f(1)=1的函
數f(2)來說，2都是一個障界；特別地，對m的因子個數d(m)亦
然．不等式
max{d(n一1)+n一1，d(n—2)十n一2}≥n+2
對n≥7成立，對n=6不成立．但對，n≥3有d(n—1)+n—1≥n+1
故的d（m）沒有≥3的障界。
現在計算機還無法算出其解。
