卡姆定理

卡姆定理關於哈密頓力學系統運動穩定性的一種論斷，它反映“弱”不可積（或接近可積）系統的運動規律。

卡姆定理

卡姆定理是牛頓力學在20世紀的重大進展。這一定理於50年代中期至60年代初期由A.H.柯爾莫戈羅夫、В.И.阿諾德以及J.莫澤先後提出並分別予以證明,KAM即為三人姓氏的首字母。
人們對力學系統所關心的問題之一，是運動過程的長期行為和它最終會達到的狀態。動力系統的長時間行為可能有多種形式：平衡或不動點，周期振動，準周期運動，混沌。它們都是定常態。牛頓力學的確定論觀點曾因它解決太陽系行星運行問題的成功而在很長時期占統治地位。P.S.拉普拉斯曾宣稱，只要給定初始條件就可以預言太陽系的整個未來。但是，力學中的三體問題和重剛體繞固定點的運動問題成為困擾人們近一個世紀的難題。數學家於19世紀認識到 n體問題屬於不可積分的難題，只能尋求級數解。換言之，這類系統無法根據初始條件求出描述系統未來確定性行為的精確解。隨之，H.龐加萊也清楚地認識到力學系統一般說來不可積分，可積分系統只是極少的特例，並指出共振項可能影響級數的收斂性。對於不可積系統的運動圖像，卡姆定理回答了“弱”不可積系統的問題。假定這種系統的哈密頓量可以分為兩部分。

其中H0是可積的,因而只依賴於作用量Ji;V是使H變得不可積的擾動,自然含有角度變數θi。只要參數ε 很小,導致不可積的附加項就很小。卡姆定理指出:在擾動(或者說非線性)較小、V足夠光滑、離開共振條件一定距離等三個條件下，對於絕大多數初始條件，弱不可積系統的運動圖像與可積系統基本相同。可積系統的運動限制在由N個運動不變數決定的N維環面上，弱不可積系統的絕大多數軌道也限制在稍有畸變的N維環面上。這些環面稱為不變環面或卡姆環面。確切些說，相空間分成大小兩組體積非零的區域。在大區域中仍然保持著與可積系統類似的環面結構;初始條件如果落入小區域中,運動軌道就會相當不規則地迷走，運動軌道呈現不穩定性。這些小的不穩定區的體積隨著ε 趨於零而消失，但只要ε 不為零,它們的體積就是有限的。這說明只有低階(看來小於4階)共振才有危險性，高階共振不影響微擾級數的收斂性。低階共振的區域在相空間中是彼此隔開的，只有參數ε足夠大時，它們才會互相重疊,導致混沌運動。進一步的研究發現無論破壞任何一個卡姆條件，運動圖像都會變得更為混沌。軌道的不穩定性是力學系統運動中出現隨機性、不可預言性和混沌的原因。卡姆定理通過對弱不可積系統運動穩定性條件的證明，說明了三維以上非線性系統的運動軌道出現混沌現象具有普遍性。這對於突破牛頓力學決定論的思想框架具有重要意義，也豐富了系統學的內容。

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