卡塔朗猜想:設 Z，N，Q 分別表示全體整數，正整數以及有理數的集合。1 -百科知識中文網

卡塔朗猜想

設 Z，N，Q 分別表示全體整數，正整數以及有理數的集合。1844 年，Catalan曾經猜測：正整數8和9是唯一的兩個連續的完全方冪。凱特蘭於1842 年提出：“除了8=2^3，9=3^2以外沒有兩個連續數都是正整數乘冪的猜想”。即不定方程x^p+1=y^q，其中p ，q 均是素數，除了8=2^3，9=3^2 以外沒有其它的正整數解。160 多年來數學家們證明了下列定理：歐拉(Euler)首先證明了不定方程x^2-1=y^q，當q=3 時猜想成立；大約1961 年卡塞爾斯證明了不存在三個相鄰的正整數是完全冪。1962 年柯召證明了當q > 3 時，不定方程x^2-1=y^q 無正整數解。另外，《數學猜想集》的定理1.3.16 “不定方程x^p+1=y^q，q 是奇素數，沒有x > 0，y >0 的正整數解”。

概述

設 Z，N，Q 分別表示全體整數，正整數以及有理數的集合。1844 年，Catalan曾經猜測：正整數8和9是唯一的兩個連續的完全方冪。顯然，上述猜想可表述為

猜想 1.1 方程

，x，y，m，n ∈ N，m > 1，n > 1 (1.1)

僅有解 (x，y，m，m) = (3，2，2，3)。

這是數論中的一個著名難題，一百多年來人們曾對此有過大量的研究。例如，Lebesgue證明了：方程 (1.1) 沒有適合 2|n 的解 (x，y，m，n)；柯召證明了：方程 (1.1) 僅有解 (x，y，m，n) = (3，2，2，3) 適合 2|n。 2004 年，這一猜想最終由Mihˇailescu完全解決。

1986 年，Shorey 和 Tijdeman 將 Catalan 猜想擴展到了有理數的範圍，提出了以下猜想：

猜想 1.2 方程

，X，Y ∈ Q，X > 0，Y > 0，m，n ∈ N，m > 1，n > 1，mn > 4 (1.2)

僅有有限多組解 (X，Y，m，n)。

上述猜想稱為廣義 Catalan 猜想。由於該猜想與著名的廣義 Fermat 猜想有直接的聯繫，所以這是一個很有意義但又非常困難的問題，目前僅解決了一些極特殊的情況。例如，vander Poorten證明了：對於給定的 S 集合，即由有限多個素數經乘法生產的正整數的集合，方程 (1.2) 僅有有限多組解（X，Y，m，n）可使 X 和 Y 都是 S - 整數，即分母是該 S 集合中元素的有理數。