自然單元法的功能梯度板固有頻率最佳化
對功能梯度板的固有頻率最佳化問題。從無格線方法自然單元法出發，建立了功能梯度板的一階剪下變形理論的自由振動分析格式。自然單元法是一種基於自然鄰近插值的無格線數值方法。自然鄰近插值不涉及矩陣求逆運算，也不需要任何人為的參數。較之於傳統複合材料，功能梯度板材料屬性沿厚度方向呈梯度連續變化，因此材料加工時產生的殘餘應力小很多，此外，功能梯度板具有可設計的優點。以第一階固有頻率為最佳化目標建立最佳化模型，通過單純形法搜尋較優的功能梯度板的成分分布。最後通過矩形功能梯度板在不同邊界條件下的基頻最佳化的實例，驗證了整個算法的可行性和有效性。
Nelder–Mead 單純形法
功能梯度板的第一階固有頻率通過求解式的廣義特徵值求得，在此基礎上採用單純形法搜尋最佳化問題的最優解。單純形法是由Nelder 和Mead 於1965 年提出的，是一種直接搜尋法，無需藉助目標函式的梯度信息。該算法的主要步驟如下：
(1) 該方法根據初始點 n 開始分別沿坐標軸單位矢量方向生成 k 個頂點 n = n + αe ， i=1，2，....， k。計算 k+1 個頂點（含初始點）的函式值 f( n )，找出最大點 n、最小值點 n，求出形心 n，有 f( n)> f( n)> f( n)。若三點結果接近，取 n 為最小值且終止程式。否則由最小點、形心點以及最大點初始單純形。
(2) 反射計算。取 n=( n+ n)/2， n= n+2( n- n)，若 f( n)< f( n)，則用 n 代替 n，並形成新的單純形；否則進行延伸計算。
(3) 延伸計算。取 n=( n+ n)/2，若 f( n)< f( n)，則用 n 代替 n；若 f( n)≥ f( n)，則進行收縮計算。
(4) 收縮計算。取 n=( n+ n)/2，若 f( n)< f( n)，則用 n代替 n；否則進行縮邊計算。
(5) 縮邊計算。以 n 為中心進行縮邊，由 n 和 n=( n+ n)/2 替代 n， n 形成新的單純形。在此基礎上重複(2)~(4)直至 f( n) - f( n) < ε1， | n - n| < ε2。
如果無特殊說明，目標函式和計算結果的收斂閥值 ε1， ε2 分別設為1e-4 和 1e-3。
數值算例
分析不同邊界條件下功能梯度中厚板的自由振動問題，並根據預設的第一階固有頻率最佳化獲得對應的材料分布。在這些數值算例中，板結構的材料參數均取為：Al 的彈性模量 E= 70GPa ，泊松比 v= 0.3 ，質量密度 p= 2707kg / m ；AlO 的彈性模量 E= 380GPa ，泊松比 v = 0.3 ，質量密度 p3800kg / m 。
初始值對最佳化過程影響，初始值 n 分別設為0.1， 1.5， 3， 4.5， 6， 7.5， 10，格線為31×31，邊界條件依然為四邊簡支，選取 n=1 和 n=4 時對應的無量綱第一階頻率ω 0.1631 和0.1397 作為最佳化目標。結果顯示，初始值的選擇對最佳化結果的影響較小，但是較優的初始值可以減少疊代次數，如當初始值選為 1.5 時，目標函式為ω= 0.1631的疊代次數最少；而初始值為 4.5 時，目標函式為ω = 0.1397 的疊代次數最少。
基於一階剪下變形板理論採用自然單元法求解指數型金屬—陶瓷功能梯度板的第一階固有頻率，並在此基礎上，通過最佳化梯度指數使功能梯度板的基頻達到設定值。研究表明，自然單元法和單純形法可以有效的最佳化功能梯度板的固有頻率。在計算過程中，自然單元法僅需在域內設定離散節點，無需劃分格線，前處理簡單，此外自然單元法的形函式構造不涉及矩陣求逆計算，具備計算量小，算法簡單易實施等優點。單純形法無需梯度信息，搜尋結果不受初值影響，是一種穩定高效的最佳化方法。
功能梯度材料瞬態熱傳導問題的自然單元法
為了更有效地求解三維軸對稱功能梯度材料瞬態熱傳導問題，對無格線自然單元法套用於此類問題，並發展了相應的計算方法。基於幾何形狀和邊界條件的軸對稱性，三維的軸對稱問題可降為二維平面問題。為了簡化本 質邊界條件的施加，軸對稱面上的溫度場採用自然鄰近插值進行離散。功能梯度材料特性的變化由高斯點的材料 參數進行模擬。時間域上，採用傳統的兩點差分法進行離散求解，進而得到瞬態溫度場的回響。數值算例結果表 明，提出的方法是行之有效的，理論及方法不僅拓展了自然單元法的套用範圍，而且對三維軸對稱瞬態熱傳導分 析具有普遍意義。
自然鄰近插值
考慮二維空間中由M個離散節點構成的點集 N={ x， x，…， x}描述的封閉區域。點集 N的Voronoi結構是能夠把該二維空間分成若干個子空間 T，並且點 x對應的子空間 T 內的任意一點到 x的距離比到其他節點 x 的距離近。
控制方程的弱形式及其離散化
在三維軸對稱瞬態熱傳導問題中，空間參量只有半徑 r和軸向參量 z。在軸對稱面 Ω上， Γ和 Γ分別表示問題域的本質邊界和自然邊界。
時間積分方案
經過對空間域的無格線自然單元法離散，已將溫度場的偏微分方程轉化為 一組以時間 t為獨立變數的一階線性常微分方程組。採用傳統的兩點差分法對時間域進行離散。
數值算例
1、空心圓筒：
有一無限長的功能梯度空心圓筒，其內半徑 a=8×10 m，外半徑 b=10×10 m。為了該問題的分析，截取長 L=2×10 m的一段，且上下兩截面視為絕熱面。內表面溫度 T =0℃，外表面溫度 T =1℃，初始溫度給定為零。計 算中，均勻布置45（9×5）個節點，時間步長取Δt=0.5s。
2、實心圓筒：
為了進一步驗證 數值方法的有效性，考慮一無限長的功能梯度實心圓筒，其半徑 a=1m。截取長 L=1m的一段，外表面溫度 T=100℃，其餘邊界絕熱，初始溫度給定為零。計算中，沿徑向均勻布置 9個節點，沿軸向均勻布置 5個節點，時間步長取 Δt=0.02s。
作為介於有限元法與無格線法之間的一種數值方法，自然單元法的節點影響域是由節點 的Voronoi結構所規定的自然相鄰關係給出，不受人為參數的影響，具有其他無格線法不可比擬的優越性。根據三維軸對稱功能梯度材料瞬態熱傳導方程及其邊界條件，利用加權殘值法，選取自然鄰近插值對軸對稱面上的溫度場進行離散， 詳細推導了三維軸對稱功能梯度材料瞬態熱傳導問題的自然單元法計算公式，並編制了相應的 FORTRAN計算程式。
