偽凸函式:偽凸函式（pseudo-convex function）是凸集 -百科知識中文網

概念

偽凸函式是凸集上的一類函式。設S⊂R 是凸集，f是S上的可微函式。若對任意的x ，x ∈S，以及▽f(x ) (x -x )≥0，有f(x )≥f(x )，則稱f是S上的偽凸函式。或者等價地，若f(x )<f(x )，有▽f(x ) (x -x )<0，則f是S上的偽凸函式。若對任意的x ，x ∈S，x ≠x ，以及▽f(x ) (x -x )≥0，有f(x )>f(x )，或者等價地，若f(x )≤f(x )，則有▽f(x ) (x -x )<0，則稱f是S上的嚴格偽凸函式。

偽凸函式與擬凸函式之間有下述關係：若f是S⊂R (非空開凸集)上的偽凸函式，這時f既是嚴格擬凸函式也是擬凸函式。若f是S上的嚴格偽凸函式，則f是S上的強擬凸函式。

凸集

在凸幾何中，凸集(convex set)是在凸組合下閉合的仿射空間的子集。更具體地說，在歐氏空間中，凸集是對於集合內的每一對點，連線該對點的直線段上的每個點也在該集合內。例如，立方體是凸集，但是任何中空的或具有凹痕的例如月牙形都不是凸集。

特別的，凸集，實數 R上（或複數 C上）的向量空間中，如果集合 S中任兩點的連線上的點都在 S內，則稱集合 S為凸集。

凸集的邊界總是凸曲線。包含歐幾里得空間的給定子集A的所有凸集的交集稱為A的凸包。它是包含A的最小凸集。凸函式是在具有其epigraph（函式圖上或上方的點集合）為凸集的屬性的間隔上定義的實值函式。凸最小化是一個最佳化的子領域，研究了凸函式在凸集上的最小化問題。用於凸集和凸函式屬性研究的數學分支稱為凸分析。

令S是實數上的向量空間，或者更一般地，是在某個有序域上，這包括歐幾里德空間。如果對於C中的所有x和y，並且在區間（0,1）中的所有t，點也屬於C，則S中的集合C被稱為凸。換句話說，連線x和y的線段上的每個點都在C中。這意味著實際或複雜拓撲向量空間中的凸集是路徑連線的。此外，如果除了端點之外的連線x和y的線段上的每個點都在C的內部，則C是嚴格凸起的。

R的凸子集（實數集）僅僅是R的間隔。歐幾里得平面的凸子集的一些例子是實心的正多邊形，實心三角形和實心三角形的交集。歐幾里德三維空間的凸子集的一些例子是阿基米德固體和柏拉圖式固體。克卜勒 - 波諾索多面體是非凸集的例子。

不凸的集合稱為非凸集。一個不是凸多邊形的多邊形有時被稱為凹多邊形，一些來源更普遍地使用術語凹集來表示非凸集，但大多數許可權禁止這種使用。

凸集的補集有時被稱為反凸集，特別是在數學最佳化的上下文中。

如果S是n維空間中的凸集，則對於S中的任何r> 1，n維向量的集合，對於任何非負數，那，那么：

這種類型的向量被稱為的凸組合。

一般的：

令和是凸集，則有以下重要性質：

(1) 交集為凸集。

(2) 和集為凸集。

(3) 直和為凸集。

擬凸函式

直觀的看，函式f（x）是擬凸的表示曲線ACB之間的點都低於B點。顯然，如果函式f（x）是凸的，則圖形如一個正放的鍋，弦在曲線上面，而弦上的點本身滿足上述性質，因而一定是擬凸的。代數的證明只要利用兩者的定義即得。但反向則不一定成立，如同是單調的函式的凹函式、線性函式、凸函式的圖形中，同樣滿足擬凸函式的定義，即擬凸函式可以是凹函式，也可以是凸函式。

與擬凹函式相對，擬凸函式也有一個等價定義：如果函式f（x）是擬凸的，若且唯若集合S1={x|f（x）≤c}是凸集，我們稱集合S1為函式f（x）的下等值集（Lower Contour Set）。

擬凸函式是與擬凹函式相對的概念，定義為：

函式f（x），對定義域S（凸集）上任意兩點x1，x2∈S，Θ∈[0，1]，如果有f[Θx1+（1-Θ）x2]≤max{f（x1），f（x2）}，則稱函式f（x）是擬凸的。

性質：

i）如果函式f（x）是凹（凸）的，則f（x）也一定是擬凹（凸）的；反之則不成立；

ii）如果函式f（x）是擬凹（凸）的，則-f（x）一定是擬凸（擬凹）的；

iii）線性函式f（x）既是擬凹的，也是擬凸的；

iv）擬凹函式等價於凸集的上等值集；擬凸函式等價於凸集的下等值集。

另外，值得注意的是，與凹（凸）函式不同，擬凹（凸）函式的非負線性組合不是擬凹（凸）函式。

擬凹函式

所謂擬凹函式，就是相對坐標橫軸，圖像里沒有下凸現象的曲線。亦即對任意兩點x、y屬於定義域，f(ax+(1-a)y)>=min[f(x), f(y)]。容易證明，若函式是擬凹的，若且唯若其定義域的所有上輪廓集(upper contour set)都是凸的。對於效用函式來說，偏好是凸的，若且唯若效用函式是擬凹的。

經濟學方面：集合、關係（等價、傳遞等）、全序、前序、凸凹、擬凸（凹）。了解度量空間的部分知識。了解擬凹函式、凹函式和微分學知識，部分線性代數知識。這些知識將很好地幫助您了解高級個體經濟學的內容，尤其是效用存在性定理的證明、對一般均衡的理解等等。如果要研究經濟個體最優行為這些知識就顯得尤為必要。

至於他的意義，其實就是討論為什麼偏好一定要假定為凸的，偏好的凸性往往被解釋為偏好是邊際替代率是遞減的（注意：是邊際替代率遞減，而非邊際效用遞減！）。從直覺上解釋這種現象，就好比一個人，買蘋果和桔子，他覺得1個蘋果三個桔子比一個桔子三個蘋果好，那么這兩種消費結構直線上的點兩個蘋果兩個桔子，也必定比一個桔子三個蘋果好。這是一個二維的情況。一維則更清楚了，三個蘋果如果比一個蘋果好，那么兩個蘋果一定也比一個蘋果好。隨著維數增加，這個規律也是比較合理的。

另外，最佳化問題中把偏好假設為是凸的，再加上局部非飽和性質，使得對於任意的預算約束下，總有最大效用消費的解。否則，談最佳化是沒有任何意義的。

凸函式

凸函式是一個定義在某個 向量空間的凸 子集C（區間）上的實值函式f，而且對於凸子集C中任意兩個向量, f((x1+x2)/2)>=(f(x1)+f(x2))/2,則f(x)是定義在凸子集c中的凸函式（該定義與凸規劃中凸函式的定義是一致的，下凸）。

凸函式是指一類定義在實線性空間上的函式。

注意：中國大陸數學界某些機構關於函式凹凸性定義和國外的定義是相反的。Convex Function在某些中國大陸的數學書中指凹函式。Concave Function指凸函式。但在中國大陸涉及經濟學的很多書中，凹凸性的提法和其他國家的提法是一致的，也就是和數學教材是反的。舉個例子，同濟大學高等數學教材對函式的凹凸性定義與本條目相反，本條目的凹凸性是指其上方圖是凹集或凸集，而同濟大學高等數學教材則是指其下方圖是凹集或凸集，兩者定義正好相反。

另外，也有些教材會把凸定義為上凸，凹定義為下凸。碰到的時候應該以教材中的那些定義為準。