介紹
俯仰程式角是Leonhard Euler引入的三個角度來描述剛體相對於固定坐標系的方向。它們還可以表示物理學中的移動參考系的取向或三維線性代數中的一般基礎的取向。
可以通過組合三個元素旋轉，即關於坐標系的軸的旋轉來實現任何取向。俯仰程式角可以通過這些旋轉中的三個來定義。它們也可以由元素幾何定義，幾何定義表明三次旋轉總是足以達到任何幀。
三個元素旋轉可以是非本徵的（關於原始坐標系的軸線xyz的旋轉，其被認為保持不動）或固有的（圍繞旋轉坐標系XYZ的軸線的旋轉，與移動體一致，其改變其每次元素旋轉後的取向）。
俯仰程式角通常表示為α，β，γ或φ，θ，ψ。不同的作者可以使用不同的旋轉軸組來定義歐拉角，或者為相同的角度定義不同的名稱。因此，任何使用俯仰程式角度的討論都應該始於其定義之前。
解釋
由定點O作出固定坐標系Oxyz以及固連於剛體的坐標系Ox'y'z'。以軸Oz和Oz'為基本軸，其垂直面Oxy和Ox'y'為基本平面.由軸Oz量到Oz'的角度θ稱為章動角。平面zOz'的垂線ON稱為節線，它又是基本平面Ox'y'和Oxy的交線。在右手坐標系中，由ON的正端看，角θ應按逆時針方向計量。由固定軸Ox量到節線ON的角度ψ稱為進動角，由節線ON量到動軸Ox'的角度φ稱為自轉角。由軸Oz和Oz'正端看，角ψ和φ也都按逆時針方向計量。歐拉角（ψ,θ,φ）的名稱來源於天文學。
三個歐拉角是不對稱的，在幾個特殊位置上具有不確定性（當θ=0時，φ和ψ就分不開）。對不同的問題，宜取不同的軸作基本軸，並按不同的方式量取歐拉角。
若令Ox'y'z'的原始位置重合於Oxyz，經過相繼繞Oz、ON和Oz'的三次轉動Z（ψ）、N（θ）、Z'（φ）後，剛體將轉到圖示的任意位置（見剛體定點轉動）。變換關係可寫為：
R（ψ,θ,φ）=Z'（φ）N（θ）Z（φ），
式中R、Z'、N、Z是轉動運算元，並可用矩陣表示。
作用
歐拉角Eulerian angles用來確定定點轉動剛體位置的3個一組獨立角參量，由章動角 θ、旋進角（即進動角）ψ和自轉角j組成。為歐拉首先提出而得名。它們有多種取法，下面是常見的一種。如圖所示，由定點O作出固定坐標系 Oxyz和固連於剛體的動坐標系Ox′y′z′。以軸Oz和Oz′為基本軸，其垂直面Oxy和Ox′y′為基本平面。由軸Oz量到Oz′的角θ稱章動角。平面zOz′的垂線ON稱節線，它又是基本平面Ox′y′和Oxy的交線。在右手坐標系中，由 ON 的正端看，角θ應按逆時針方向計量。由固定軸 Ox 量到節線ON的角ψ稱旋進角；由節線ON量到動軸Ox′的角j稱自轉角。由軸 Oz 和Oz′正端看，角ψ和j也都按逆時針方向計量。若令 Ox′y′z′的初始位置與 Oxyz 重合，經過相繼繞 Oz 、ON 和 Oz′的三次轉動後，剛體將轉到圖示的任意位置。如果剛體繞通過定點 O的某一軸線以角速度ω轉動，而ω在動坐標系Ox′y′z′上的投影為ωx′、ωy′、ωz′，則它們可用歐拉角及其微商表示如下：ωx′ =sinθsinj+cosj，ωy′= sinθcosj－sinj，ωz′=cosθ+。如果已知 ψ、θ、j和時間的關係，則可用上式計算ω在動坐標軸上的 3個分量；反之，如已知任一瞬時t的ω各個分量，也可利用上式求出ψ、θ、j和時間t的關係，因而也就決定了剛體的運動。上式通常被稱為歐拉運動學方程。
