中線[幾何概念]

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中線是三角形中從某邊的中點連向對角的頂點的線段。 三角形的三條中線總是相交於同一點,這個點稱為三角形的重心,重心分中線為2:1(頂點到重心:重心到對邊中點)。

基本信息

定義

三角形中,連結一個頂點和它所對邊的中點的連線段叫做三角形的中線。

中線也是線段 ,一個三角形有3條中線。

性質

(1)任意三角形的三條中線把三角形分成面積相等的六個部分。中線都把三角形分成面積相等的兩個部分。除此之外,任何其他通過中點的直線都不把三角形分成面積相等的兩個部分。

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(2)在ABC中,連線角A的中線記為,連線角B的中線記為,連線角C的中線記為,它們長度的公式為:

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(3)三角形中中線的交點為重心,重心分中線為2:1(頂點到重心:重心到對邊中點)。

圖中線段CD即為三角形ABC的其中一條中線。 圖中線段CD即為三角形ABC的其中一條中線。

(4)在一個直角三角形中,直角所對應的邊上的中線為斜邊的一半。

方法

倍長中線法:倍長中線的意思是,延長底邊的中線,使所延長部分與中線相等,然後往往需要連線相應的頂點,則對應角對應邊都對應相等。

此法常用於構造全等三角形,利用中線的性質進而證明對應邊之間的關係。

示例

已知(如圖)AE是ABD中BD邊上的中線,AB=CD,∠BAD=∠ADB。

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求證:AC=2AE。

分析:這也是一道巧用中線的證明題,原題要求我們證出AC=2AE。而AE在圖形中恰好是一個三角形的中線,我們知道要證兩條線段相等,只要證兩條線段所在的兩個三角形全等就可以。

而圖形中沒有2AE這條線段,這樣我們就必須構造出一個全新的三角形,使其中一邊的長為2AE,延長AE至點P,使AE=EP(AP=2AE),連結BP,從而得到一個新的三角形△ABP。進而證得△ABP和三角形ADC全等,從而證AC=AP,即AC=2AE。

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