三階幻方

三階幻方

三階幻方是最簡單的幻方,又叫九宮格,是由1,2,3,4,5,6,7,8,9九個數字組成的一個三行三列的矩陣(如右圖示),其對角線、橫行、縱向的和都為15,稱這個最簡單的幻方的幻和為15。中心數為5。

基本信息

基本型

相傳,大禹治水時,洛水中出現了一個“神龜”背上有美妙的圖案,史稱“洛書”,用現在的數字翻譯出來,就是三級幻方。

2500年前,孔子在他研究《易經》的著作《系詞上傳》中記載了:“河出圖,洛出書,聖人則之。”最早將數字與洛書相連的記載是2300年前的《莊子·天運》,它認為:“天有六極五常,帝王順之則治,逆之則凶。九洛之事,治成德備,監照下土,天下戴之,此謂上皇。”明代數學家程大位在《算法統宗》中也曾發出“數何肇?其肇自圖、書乎?伏羲得之以畫卦,大禹得之以序疇,列聖得之以開物”的感嘆,大意是說,數起源於遠古時代黃河出現的河圖與洛水出現的洛書,伏羲依靠河圖畫出八卦,大禹按照洛書劃分九州,並制定治理天下的九類大法,聖人們根據它們演繹出各種治國安邦的良策,對人類社會與自然界的認識也得到步步深化。大禹從洛書中數的相互制約,均衡統一得到啟發而制定國家的法律體系,使得天下一統,歸於大治,這是借鑑思維的開端。這種活化思維的方式已成為科學靈感的來源之一。從洛書發端的幻方在數千年後的今天更加生機盎然,被稱為具有永恆魅力的數學問題。十三世紀,中國南宋數學家楊輝在世界上首先開展了對幻方的系統研究,歐洲十四世紀也開始了這方面的工作。著名數學家費爾瑪、歐拉都進行過幻方研究,如今,幻方仍然是組合數學的研究課題之一,經過一代代數學家與數學愛好者的共同努力,幻方與它的變體所蘊含的各種神奇的科學性質正逐步得到揭示。目前,它已在組合分析、實驗設計、圖論、數論、群、對策論、紡織、工藝美術、程式設計、人工智慧等領域得到廣泛套用。1977年,4階幻方還作為人類的特殊語言被美國旅行者1號、2號飛船攜入太空,向廣袤的宇宙中可能存在的外星人傳達人類的文明信息與美好祝願!

三階幻方 三階幻方
由三階基本幻方各數減1生成的新幻方 由三階基本幻方各數減1生成的新幻方

由1、2、3、……等連續自然數生成的幻方為 基本幻方,在此基礎上各數再加或減一個相同的數,可組成由零或負數組成的新幻方,新

如上圖基本幻方中各數減1生成的新幻方,幻和為12,如下圖示:

構造

拆填方式

想:1+9=10,2+8=10,3+7=10,4+6=10。這每對數的和再加上5都等於15,可確定中心格應填5,這四組數應分別填在橫、豎和對角線的位置上。先填四個角,若填兩對奇數,那么因三個奇數的和才可能得奇數,四邊上的格里已不可再填奇數,不行。若四個角分別填一對偶數,一對奇數,也行不通。因此,判定四個角上必須填兩對偶數。對角線上的數填好後,其餘格里再填奇數就很容易了。

古代方式

南宋數學家楊輝概括的構造方法為:

“九子斜排。上下對易,

左右相更。四維突出。”

中國古代九宮格的填法口訣是:

九宮之義, 法以靈龜,

二四為肩, 六八為足,

左七右三, 戴九履一,

五居中央。

也有把這兩者綜合起來說的:

九子斜排,上下對易,

左右相更,四維挺出,

戴九履一,左七右三,

二四為肩,六八為足

即:

4 9 2
3 5 7
8 1 6

2 9 4
7 5 3
6 1 8

奇階幻方通用構造法

口訣:
1 居上行正中央,

依次斜填切莫忘,

上出框界往下寫,

右出框時左邊放,

重複便在下格填,

出角重複一個樣。

解釋:

1)在第一行居中的方格內放1,依次向右上方填入2、3、4…;

2)如果這個數所要放的格已經超出了頂行那么就把它放在底行,仍然要放在右一列;

3)如果這個數所要放的格已經超出了最右列那么就把它放在最左列,仍然要放在上一行;

4)如果右上方已有數字和出了對角線,則向下移一格繼續填寫。

5)也可將所填數在幻方中所對應的數填在幻方中對應的位置。

例如:1為第一行中間數,則將對應的9填在最後一行的中間。2以次類推。

按照這種方式,做鏡像或鏇轉對稱,可得到實際相同的其他填法:
只要將1放於四個變格的正中,向幻方外側依次斜填其餘數字;若出邊,將數字調到另一側;若目標格已有數字或出角,回一步填寫數字,再繼續按一開始的相同方向依次斜填其餘數字。

鏇轉情況

用1~9填出的三階基本幻方的所有情況都是相互鏡像或鏇轉的。
是本質相同的不同表現:

第一種:

8 1 6
3 5 7
4 9 2

第二種:

6 1 8
7 5 3
2 9 4

第三種:

4 9 2
3 5 7
8 1 6

第四種:

2 9 4
7 5 3
6 1 8

第五種:

6 7 2
1 5 9
8 3 4

第六種:

8 3 4
1 5 9
6 7 2

第七種:

2 7 6
9 5 1
4 3 8

第八種:

4 3 8
9 5 1
2 7 6

特殊數組

任意等差數列

任意等差數列都可以由1~9的每個數乘以X,再加Y,得到。
因此按照原先的從小到大的順序排列,幻方仍然成立。

例如要用6、9、12、15、18、21、24、27、30構成幻方:
把1-9構成的3階幻方的每個數乘以3,再加3:

27 6 21
12 18 24
15 30 9

幻和值=54

等差的三組等差

3個一組的數,組與組等差,每組數與數等差,這樣的數能構成3階幻方。
同樣按照基本幻方的大小排列他們的順序即可

例如以下3組9個數:

【2、4、6】、【13、15、17】、【24、26、28】構成幻方,

26 2 17
6 15 24
13 28 4

幻和值=45。

規律

以下規律對所有三階幻方均成立:

幻和與中心數

幻和=3×中心數
證明:

通過中心數有4條線。將這4條線全部加起來,可以得到:

幻和×4=全體數的和+中心數×3

而我們知道三階幻方中,全體數的和=3×幻和(三行或三列)

因此有:

幻和×4=幻和×3+中心數×3

化簡得到:
幻和=3×中心數

過中心的線

過中心的線上的三個數,依次成等差數列。或者說, 關於中心位置對稱的兩數,平均數是中心數。

證明:

過中心線的三個數之和為幻和。性質1已經說明,幻和=3×中心數。
因此中心數是這三個數的平均數。
從這之中去掉中心數不改變平均數。
因此中心數是關於中心位置對稱的兩數。
也就是一個數比中心數多多少,另一個數就比中心數少多少。即他們成等差數列

邊角關係

2倍角格的數=不相鄰的2個邊格數之和。2a=b+c
如:基本幻方中:2*8=9+7,2*4=1+7,2*6=3+9,2*2=1+3

a
c
b

證明:

過a有3條線。計算這三條線的和:

幻和×3=全體數的和+2×a-b-c

全體數的和=幻和×3

因此

2×a-b-c=0

2×a=b+c

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