△[數學中的方程用語]

根的判別式是判斷方程實根個數的公式，在解題時套用十分廣泛，涉及到解係數的取值範圍、判斷方程根的個數及分布情況等。一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式是b^2-4ac，用“△”表示(讀做“delta”)。

定義

判別式即判定方程實根個數及分布情況的公式。

一元二次方程判別式

△[數學中的方程用語]

△[數學中的方程用語]

△[數學中的方程用語]

任意一個一元二次方程 均可配成 ，因為a≠0，由平方根的意義可知， 的符號可決定一元二次方程根的情況．

△[數學中的方程用語]

△[數學中的方程用語]

△[數學中的方程用語]

叫做一元二次方程 的根的判別式，用“△”表示(讀做“delta”)，即△= ．

一元二次方程根的情況

方程係數為實數

△[數學中的方程用語]

在一元二次方程 中

（1）當△>0時，方程有兩個不相等的實數根；

（2）當△=0時，方程有兩個相等的實數根；

（3）當△<0時，方程沒有實數根,方程有兩個共軛虛根．

（1）和（2）合起來：當△≥0時，方程有實數根．

上面結論反過來也成立，可以具體表示為：

△[數學中的方程用語]

在一元二次方程 （a≠0，a、b、c∈R）中，

①當方程有兩個不相等的實數根時，△>0；

②當方程有兩個相等的實數根時，△=0；

③當方程沒有實數根時，△<0。

（1）和（2）合起來：當方程有實數根時，△≥0．

△[數學中的方程用語]

△[數學中的方程用語]

注意 根的判別式是△= ，而不是△= 。

一元二次方程求根公式：

△[數學中的方程用語]

△[數學中的方程用語]

△[數學中的方程用語]

當Δ= ≥0時， ，當Δ=0時，x= ;

△[數學中的方程用語]

△[數學中的方程用語]

當Δ= <0時， (i是虛數單位)

方程係數為虛數

△[數學中的方程用語]

在一元二次方程 （a、b、c是虛數）中

當Δ≥0時，此方程有兩個相等的復根；

當Δ<0時，此方程有兩個不等的復根。

一元二次方程判別式的套用

（1）解方程，判別一元二次方程根的情況．

它有兩種不同層次的類型：

①係數都為數字；

②係數中含有字母；

③係數中的字母人為地給出了一定的條件．

（2）根據一元二次方程根的情況，確定方程中字母的取值範圍或字母間關係．

（3）套用判別式證明方程根的情況（有實根、無實根、有兩不等實根、有兩相等實根）

套用

① 解一元二次方程，判斷根的情況。

② 根據方程根的情況，確定待定係數的取值範圍。

③ 證明字母係數方程有實數根或無實數根。

④ 套用根的判別式判斷三角形的形狀。

⑤ 判斷當字母的值為何值時，二次三項是完全平方式

⑥ 可以判斷拋物線與直線有無公共點

聯立方程。

⑦ 可以判斷拋物線與x軸有幾個交點

△[數學中的方程用語]

△[數學中的方程用語]

△[數學中的方程用語]

△[數學中的方程用語]

△[數學中的方程用語]

△[數學中的方程用語]

拋物線 與x軸的交點 （1）當y=0時，即有 ，要求x的值，需解一元二次方程 。可見，拋物線 與x軸的交點的個數是由對應的一元二次方程 的根的情況確定的，而決定一元二次方程 的根的情況的，是它的判別式的符號，因此拋物線與x軸的交點有如下三種情形：

△[數學中的方程用語]

1）當Δ>0時，拋物線與x軸有兩個交點，若此時一元二次方程 的兩根為x1、x2，則拋物線與x軸的兩個交點坐標為（x1，0）（x2，0）。

△[數學中的方程用語]

2）當Δ=0時，拋物線與x軸有唯一交點，此時的交點就是拋物線的頂點，其坐標是（ ，0）。

3）當 Δ<0時，拋物線與x軸沒有交點。

⑧ 利用根的判別式解有關拋物線（Δ>0）與x軸兩交點間的距離的問題。

⑨當a>0時，拋物線開口向上，當a<0時，拋物線開口向下。

一元三次方程判別式

△[數學中的方程用語]

△[數學中的方程用語]

△[數學中的方程用語]

△[數學中的方程用語]

△[數學中的方程用語]

△[數學中的方程用語]

在特殊形式的一元三次方程ax^3+bx+c=0中，其判別式為 。當 時，有一個實根和兩個復根； 時，有三個實根，當 時，有一個三重零根， 時，三個實根中有兩個相等； 時，有三個不等實根。

在一般形式的一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0中，一般採用盛金判別法，即

△[數學中的方程用語]

令 。

當A=B=0時，方程有一個三重實根。

當Δ=B －4AC>0時，方程有一個實根和一對共軛虛根。

當Δ=B －4AC=0時，方程有三個實根，其中有一個二重根。

當Δ=B －4AC<0時，方程有三個不相等的實根。