黑洞的數學理論

本書是錢德拉塞卡的重要著作，重點介紹了在研究黑洞時所需要的各種數學理論。分別介紹了廣義相對論中常用的數學理論和廣義相對論關於黑洞的史瓦西解、克爾解等。

主要內容

本書作者蘇布拉馬尼揚·錢德拉塞卡（Subrahmanyan Chandrasekhar），美籍印度裔物理學家和天體物理學家，因在星體結構和演化的研究而與另一位天體物理學家威廉·艾爾弗雷德·福勒共同獲得1983年諾貝爾物理學獎。

本書是錢德拉塞卡的重要著作 ，前兩章詳細介紹了廣義相對論中在黑洞研究方面用得比較多的數學技術，特別是紐曼-彭羅斯形式的引入和套用。然後介紹了史瓦西、RN和克爾三種最為典型的黑洞和它們的時空結構，以及紐曼-彭羅斯形式在其中的套用。第四章則是以史瓦西黑洞為例介紹了黑洞的微擾理論。接下來則是針對宇宙中黑洞最普遍的形式——克爾黑洞的一系列討論，首先是克爾時空中的測地線方程，之後則是分別詳細用紐曼-彭羅斯形式討論了克爾背景下的電磁場、引力場和旋量場的運動方程。最後一章則是簡要引入了克爾-紐曼黑洞並且介紹了一般性的方法。紐曼-彭羅斯形式是彎曲時空中求解場的運動方程時能夠使人們對方程分離變數的非常重要的一項技術，對人們研究黑洞的性質非常重要。這是一本研究黑洞時空，特別是黑洞微擾理論的一本經典著作，適合高年級本科生、研究生和研究黑洞物理的研究人員學習和參考。

目錄

序言

1.數學準備

引言

微分幾何基礎

1.

引言

2.

微分幾何基礎

（ a）正切矢量

（ b）一次型（或餘切矢量，或協變矢量）

（ c）張量和張量積

型的微積分

1.

型的微積分

（ a）外部微分

（ b）李（Lie）括弧和李微分

協變微分

1.

協變微分

（ a）平行位移和短程線

曲率型和嘉當（Cartan）結構方程

1.

曲率型和嘉當（Cartan）結構方程

（ a）扭率為零時的循環恆等式和比安基（Bianchi）恆等式

度規和由之導出的聯絡；黎曼（Riemann）幾何和愛因斯坦場方程

1.

度規和由之導出的聯絡；黎曼（Riemann）幾何和愛因斯坦場方程

（ a）由度規導出的聯絡

（ b）克里斯托費爾（Christoffel）聯絡對於黎曼和里奇（Ricci）張量的一些推論

（ c）愛因斯坦張量

（ d）外爾（Weyl）張量

（ e）作為四維流型的時空；標記問題和愛因斯坦場方程

四次形式

1.

四次形式

（ a）四次表示

（ b）方嚮導數和里奇旋轉係數

（ c）轉換關係和結構常數

（ d）里奇和比安基恆等式

（ e）四次形式的推廣

紐曼-彭羅斯（Newman-Penrose）形式

1.

紐曼-彭羅斯（Newman-Penrose）形式

（ a）零基和自旋係數

（ b）外爾、里奇、黎曼張量的表示

（ c）轉換關係和結構常數

（ d）里奇恆等式和消元關係

（ e）比安基恆等式

（ f）麥克斯韋方程

（ g）四次變換

光學標量，彼特洛夫（Petrov）分類，哥爾德伯-薩赫（Goldberg-Sachs）定理

1.

光學標量，彼特洛夫（Petrov）分類，哥爾德伯-薩赫（Goldberg-Sachs）定理

（ a）光學標量

（ b）彼得羅夫分類

（ c）哥爾德伯-薩赫定理

文獻注釋

2.充分廣義的時空

引言

定常態軸對稱時空和慣性系的拖曳

1.

引言

2.

定常態軸對稱時空和慣性系的拖曳

（ a）慣性系的拖曳

所需廣義的時空

結構方程和黎曼張量的分量

四次標架和旋轉係數

麥克斯韋方程

1.

所需廣義的時空

2.

結構方程和黎曼張量的分量

3.

四次標架和旋轉係數

4.

麥克斯韋方程

文獻注釋

3.史瓦西時空

引言

史瓦西度規

1.

引言

2.

史瓦西度規

（ a）方程的解

（ b）克魯斯卡爾（Kruskal）坐標

（ c）變換到史瓦西坐標

史瓦西度規的另一種導出

史瓦西時空的短程線：類時短程線

1.

史瓦西度規的另一種導出

2.

史瓦西時空的短程線：類時短程線

（ a）徑向短程線

（ b）束縛軌道

（i）第一類軌道

（ α） e=0情形

（ β）2 μ（3 + e）=1情形

（ γ）後牛頓近似

（ii）第二類軌道

（ α） e=0情形

（ β）2 μ（3 + e）=1情形

（iii）虛偏心率軌道

（ c）開放軌道

（i）第一和第二類軌道

（ii）虛偏心率軌道

史瓦西時空的短程線：零短程線

1.

史瓦西時空的短程線：零短程線

（ a）徑向短程線

（ b）臨界軌道

（i）迴避錐

（ c）第一類短程線

（i）和時的漸近行為

（ d）第二類短程線

（ e）虛偏心率和碰撞參量小於的軌道

21．史瓦西時空的紐曼-彭羅斯形式描述

文獻注釋

4.史瓦西黑洞的擾動

22.引言

23．非定常態、軸對稱時空的里奇和愛因斯坦張量

24.度規擾動

（ a）軸向擾動

（ b）極向擾動

（i）方程組簡化為單個一維波動方程

（ii）解的完成

25.關於與線性微分方程組可簡化性相聯繫的特殊積分的定理

（ a）方程組（52）—（54）的特定解

26. V與 V之間和 Z與 Z之間的關係

27.反射和透射問題

（ a）軸向和極向擾動的反射和透射係數的相等性

28.一維勢散射理論要點和兩個勢產生相同透射振幅的必要條件

（ a）約斯特（Jost）函式及其滿足的積分方程

（ b）lg T( σ)展開為的冪級數和不同的勢產生相同透射振幅的條件

（ c）對應於勢的積分等式等級性的直接驗證

29.通過紐曼-彭羅斯形式處理的擾動

（ a）已經線性化的方程及其簡化

（ b）方程組（237）—（242）解的完成和影子規範

30.變換理論

（ a）和 β=常數的變換存在的條件；雙重變換

（ b）支配 F的方程的驗證以及 κ和 β的值

31.藉助於度規擾動對Ψ的直接計算

（ a）Ψ的軸向部分

（ b）Ψ的極向部分

32.理論的物理含義

（ a）散射矩陣么正性的套用

33.對擾動理論的一些觀察

34.史瓦西黑洞的穩定性

35.史瓦西黑洞的準正則模式

文獻注釋

5.雷斯納-諾茲特朗解

36.引言

37.雷斯納-諾茲特朗解

（ a）麥克斯韋方程的解

（ b）愛因斯坦方程的解

38.時空的性質

39.雷斯納-諾茲特朗度規的另一種導出

40.雷斯納-諾茲特朗時空的短程線

（ a）零短程線

（ b）類時短程線

（ c）帶電粒子的運動

41.雷斯納-諾茲特朗時空的紐曼-彭羅斯形式描述

42.雷斯納-諾茲特朗解的度規擾動

（ a）線性化的麥克斯韋方程

（ b）里奇張量的擾動

（ c）軸向擾動

（ d）極向擾動

（i）解的完成

43. V與 V之間和 Z與 Z之間的關係

44.通過紐曼-彭羅斯形式處理的擾動

（ a）已經線性化的麥克斯韋方程

（ b）“影子”規範

（ c）基本方程

（ d）變數的分離和方程的解耦及簡化

45.變換理論

（ a）雙重變換的可接受性

（ b）和的漸近行為

46.藉助於度規擾動對外爾和麥克斯韋標量的直接計算

（ a）麥克斯韋標量和

47.反射和透射問題；散射矩陣

（ a）麥克斯韋場的能量-動量張量和電磁能量流

（ b）散射矩陣

48.雷斯納-諾茲特朗黑洞的準正則模式

49.關於雷斯納-諾茲特朗時空穩定性的考慮

50.對靜態黑洞解的一些綜合觀察

文獻注釋

6.克爾度規

51.引言

52.支配定常態軸對稱真空時空的方程

（ a）共軛度規

（ b）帕帕培特羅（Papapetrou）變換

53．規範的選擇和方程向標準形式的簡化

（ a）支配 X和 Y的方程的一些性質

（ b）方程的替代形式

（ c）恩斯特（Ernst）方程

54.克爾度規的推導

（ a）黎曼張量的四次分量

55.克爾度規的唯一性；羅賓遜（Robinson）和卡特（Carter）的定理

56.克爾時空的紐曼-彭羅斯形式描述

57.度規的克爾-席爾德（Schild）形式

（ a）將克爾度規表示為克爾-席爾德形式

58.克爾時空的性質

（ a）能層

文獻注釋

7.克爾時空的短程線

59.引言

60. D型時空中短程線運動積分的定理

61.赤道面上的短程線

（ a）零短程線

（ b）類時短程線

（i） L= aE的特別情形

（ii）圓形的和相關的軌道

62.短程線運動的一般方程和哈密頓-雅可比（Hamilton-Jacobi）方程的可分離性

（ a）哈密頓-雅可比方程的可分離性和基本方程的另一種導出

63.零短程線

（ a） θ運動

（i） η> 0

（ii） η= 0

（iii） η< 0

（ b）主零迭合

（ c） r運動

（ d） a = M情形

（ e）偏振方向沿零短程線的傳播

64.類時短程線

（ a） θ運動

（ b） r運動

65.彭羅斯過程

（ a）原初彭羅斯過程

（ b）瓦爾德（Wald）不等式

（ c）巴丁-珀勒斯-楚科爾斯基（Bardeen-Press-Teukolsky）不等式

（ d）可逆的能量提取

66. a> M時的短程線

（ a）零短程線

（ b）類時短程線

（ c）對因果律的違反

文獻注釋

8. 克爾幾何中的電磁波

67. 引言

68. 定義和引理

69. 麥克斯韋方程：簡化和可分離性

（a）對Φ0和Φ2的方程的簡化和可分離性

70. 楚科爾斯基-斯塔羅賓斯基（Starobinsky）等式

71. 解的完成

（a）對?1的解

（b）等式（80）的驗證

（c）對矢量勢的解

72. 楚科爾斯基方程到標準形式的變換

（a）r*(r) 關係

73. 一般變換理論和向一維波動方程的簡化

74. 入射電磁波的勢壘

（a）與的區別

（b）解的漸近行為

75. 反射和透射問題

（a）σ+ > σ+c (=－a/m)和α2 > 0的情形

（b）σ+s< σ+ < σ+c情形

（c）0 ≤ σ+ < σ+s情形

76. 進一步放大和物理解釋

（a）么正性的套用

（b）無窮遠處和事件視界上輻射流的直接計算

（c）進一步放大

77. 對理論的一些綜合觀察

文獻注釋

9. 克爾黑洞的引力擾動

78. 引言

79. 支配外爾標量Ψ0、Ψ1、Ψ3、Ψ4的方程的簡化和解耦

80. 規範的選擇和自旋係數κ、σ、λ、ν的解

（a）影子規範

81. 楚科爾斯基-斯塔羅賓斯基等式

（a）有用公式匯集

（b）括弧標記

82. 度規擾動；問題的表述

（a）基矢擾動的矩陣表示

（b）度規係數的擾動

（c）須確定的量、可用的方程、和具有的規範自由度的列舉

83. 剩餘比安基恆等式的線性化

84. 轉換關係的線性化；三組方程

85. I組的簡化

86. II組的簡化；可積條件

87. 可積條件的解

88. Ψ的可分離性和函式、

（a）用楚科爾斯基函式表示和

89. II組簡化的完成和、滿足的微分方程

90. 四個線性化的里奇恆等式

91. 方程（209）和（210）的解

（a）方程（233）—（236）的簡化

（b）可積條件

92. Z1和Z2的明晰解

（a）Z1和Z2解的確定

（b）方程（211）和（212）的進一步套用

93. 解的完成

94. 積分等式

（a）由可積條件（263）導出的進一步等式

95. 回顧

96. 史瓦西極限a → 0時解的形式

97. 變換理論和入射引力波的勢壘

（a）一個明晰解

（b）與的區別

（c）勢的性質

（d）屬於不同勢的解之間的關係

（e）解的漸近行為

98. 反射和透射問題

（a）用附有適當邊界條件的楚科爾斯基方程的解表示和

（b）無窮遠處輻射流的直接計算

（c）穿過事件視界的能量流

（d）霍金-哈特爾（Hawking-Hartle）公式

99. 克爾黑洞的準正則模式

100. 最後的觀察

文獻注釋

10. 克爾幾何中自旋為1/2的粒子

101. 引言

102. 旋量分析和紐曼-彭羅斯形式的旋量基

（a）用旋量表示矢量和張量

（b）彭羅斯用“旗”作為旋量ξA的圖畫表示

（c）並矢形式

（d）旋量場的協變導數和自旋係數

103．紐曼-彭羅斯形式的狄拉克（Dirac）方程

104. 克爾幾何中的狄拉克方程及其分離

105. 克爾幾何中的中微子波

（a）對σ > σs( =－am/2Mr+)的反射和透射問題

（b）超輻射的缺失（0 < σ <σs）

106. 守恆流和狄拉克方程向一維波動方程形式的簡化

（a）狄拉克方程簡化為一維波動方程形式

（b）狄拉克方程在平直空間橢球坐標系中的分離形式

107. 反射和透射問題

（a）朗斯基行列式對r的範圍的守恆性

（b）穿過事件視界能流的正值性

（c）超輻射缺失的量子起因

文獻注釋

11. 其它解；其它方法

108. 引言

109. 支配定常態軸對稱時空的愛因斯坦-麥克斯韋方程

（a）規範的選擇和方程簡化為標準形式

（b）方程的進一步變換

（c）恩斯特方程

（d）恩斯特方程的變換性質

（e）共軛運算

110.克爾-紐曼解：推導和紐曼-彭羅斯形式描述

（a）紐曼-彭羅斯形式的克爾-紐曼時空描述

111. 支配克爾-紐曼時空的耦合電磁-引力擾動的方程

112. 表示靜態黑洞的解

（a）黑洞平衡的條件

113. 表示黑洞集的愛因斯坦-麥克斯韋方程的解

（a）場方程的簡化

（b）瑪居姆達（Majumdar）-帕帕培特羅解

（c）表示黑洞集的解

114. 變分法和黑洞解的穩定性

（a）場方程關於定常態解的線性化；初值方程

（b）比安基恆等式

（c）剩餘場方程的線性化形式

（d）支配準定常態變形的方程；卡特定理

（e）擾動問題的變分公式

（i）變分原理

（ii）克爾解對軸對稱擾動的穩定性

文獻注釋

附錄 楚科爾斯基函式及相關函式的表

後記

中英對照索引

作者譯者

英文版

這是1983年諾貝爾物理學獎得主錢德拉塞卡教授 一生最後的一本學術專著，也是我國知名天體物理學家盧炬甫先生 畢生最後一本學術譯作，是他們留給世界的寶貴遺產，值得認真閱讀和珍藏。