謂詞公式

謂詞公式,謂詞公式是合適公式。

1、謂詞合適公式的定義

在謂詞演算中合適公式的遞歸定義如下:
(1) 原子謂詞公式是合適公式
(2) 若A為合適公式,則~A也是一個合適公式。
(3) 若A和B都是合適公式,則(A∧B),(A∨B),(A=>B)和(A←→B)也都是合適公式。
(4) 若A是合適公式,x為A中的自由變元,則(x)A和(x)A都是合適公式。
(5) 只有按上述規則(1)至(4)求得的那些公式,才是合適公式。
舉例:試把下列命題表示為謂詞公式:任何整數或者為正或者為負。
提問:指出此例題謂詞公式中的量詞、連詞及蘊涵符號

2、合適公式的性質

(1) 否定之否定
~(~P)等價於P
(2) P∨Q等價於~P→Q
(3) 狄·摩根定律
~(P∨Q)等價於~P∧~Q
~(P∧Q)等價於~P∨~Q
(4) 分配律
P∧(Q∨R)等價於(P∧Q)∨(P∧R)
P∨(Q∧R)等價於(P∨Q)∧(P∨R)
(5) 交換
P∧Q等價於Q∧P
P∨Q等價於Q∨P
(6)結合律
(P∧Q)∧R等價於P∧(Q∧R)
(P∨Q)∨R等價於P∨(Q∨R)
(7) 逆否律
P→Q等價於~Q→~P
此外,還可建立下列等價關係:
(8) ~(x)P(x)等價於(x)[~P(x)]
~(x)P(x)等價於(x)[~P(x)]
(9) (x)[P(x)∧Q(x)]等價於
(x)P(x)∧(x)Q(x)
(x)[P(x)∨Q(x)]等價於
(x)P(x)∨(x)Q(x)
(10) (x)P(x)等價於(y)P(y)
(x)P(x)等價於(y)P(y)

證明:

否定之否定,~(~P)等價於P。

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