角微商

設D是複平面上由光滑簡單閉曲線所圍成的區域，P是D的邊界上的一個點，考慮以P 為頂點其兩邊的接近頂點的部分都包含在D內的角域，則通過這樣的角域到達點P的曲線，稱為以P為終點的斯托爾茨路徑(得名於奧地利數學家斯托爾茨(Otto Stolz，1842-1905)。設復值函式w= f(z)在區域|z|0(Re表示複數的實部) 等情形，可以同樣地定義角微商 。

基本介紹

角微商

角微商

角微商

角微商

角微商

角微商

角微商

角微商

設在內全純，如果沿以單位圓周上的點為終點的Stolz道路時，一致地有，且極限存在，則稱D為在處的 角微商(angular derivative)。

角微商

角微商

角微商

角微商

角微商

角微商

角微商

角微商

角微商

角微商

在域是半平面的情形，對虛軸上的點也可同樣地定義角微商。但是，當時，在上式中要用代替，而當時，要用代替，在後面這種情形，Stolz道路理解為包含於角域內的趨於的道路。角微商的研究由G.Julia(1920)，J.Wolff(1926)開始，而由Carathéodory(1929)，E.Landau-G，Valiron(1929)推進 。

相關結論

角微商

角微商

角微商

角微商

角微商

角微商

角微商

角微商

角微商

角微商

角微商

角微商

關於角微商的基本定理可敘述如下：若在內全純的函式滿足，則存在常數，使當z沿Stolz道路趨於時，一致地有和；且對任意的正整數p，對於的p階導數，還一致地成立。此外，在內，處處成立。單位圓的情形也有類似的定理。

角微商

角微商

角微商

角微商

角微商

對於保角映射理論，研究把平面上的單位圓(或半平面)D映射到平面的單連通域B上的函式，在D的邊界上的一點處具有非零的有限角微商的條件，也即在邊界上兼有保角性和線素比不變性的條件，是重要的。Carathéodory指出，使這一點成立的一個充分條件是：存在分別在B的外部和內部的兩個圓周，它們在B的邊界點處互相外切或內切。接著，L.Ahlfors利用關於帶形域的畸變定理，導出了角微商存在的充分必要條件，Wolff在保角映射的疊代的研究中套用了角微商 。