1．差錯控制碼的分類
按不同的方法，差錯控制碼有不同的分類。
（1）按碼元的取值分，有二進制碼和多進制碼。
（2）按處理差錯的特點分，有檢錯碼和糾錯碼，糾錯碼可分為糾隨機錯誤的碼和糾突發錯誤的碼。
（3）按信息元與校驗元之間的關係分，有線性碼和非線性碼；系統碼和非系統碼。
線性碼能用線性方程式表達信息元和校驗元之間的關係，而非線性碼則不能。
系統碼是指信息元部分和校驗元部分能顯然分開的碼，而非系統碼的信息元和校驗元是相互錯亂排列的。
（4）按校驗元所校驗的信息元的範圍分，有分組碼和卷積碼。分組碼中，每一碼組中包括一定數量的信息元和校驗元，每一碼組的校驗元只與本組信元發生關係。卷積碼則把本組的信息元和校驗元和前後若干組的碼元連環起來，所以又叫連環碼。
線性分組碼如果還具有循環移位的特性，則為循環碼，循環碼中又包含BCH碼等。
2．幾個術語
一般地來說，碼的檢錯和糾錯能力是用冗餘度來換取的。拿最簡單的重複碼來舉例，要傳送A和B兩個訊息，我們可以用“1”表示A，“0”表示B。但是，這樣的碼是沒有任何抗干擾能力的。如果在傳輸的過程中“1”錯成了“0”，或“0”錯成了“1”，接收端就會收到錯誤的訊息。如果我們用“11”表示A，“00”表示B，如果錯1位，即“11”錯成“10”或“01”；“00”錯成“01”或“10”，接收端解碼器就知道傳輸出錯，因為只規定了“00”為B，“11”為A。但如果兩位都錯，即“11”錯成“00”，或“00”錯成“11”則解碼器又無從識別出傳輸差錯了，也就是此時的碼有檢一位錯的能力。
（1）禁用碼字和許用碼字
在上面的例子中規定了用“11”表示A，“00”表示B，稱“11”和“00”為許用碼字，而“01”，“10”則為禁用碼字。
同樣為了進一步提高碼的抗干擾能力，可以用“111”和“000”分別來表示A和B，這時“000”，“111”為許用碼字，而餘下的“001”，“010”，“100”，“101”，“110”“011”等6個碼組則為禁用碼字。很顯然，此時的碼組具有檢兩位錯的功能。或者如果根據“最大似然”的解碼法則來解碼，即碼組中如有2個和3個“0”則判為“000”碼字，有2個和3個“1”則判為“111”碼字，此時就有糾1位錯的能力。可見要使碼的糾錯、檢錯的能力強，就要多加校驗碼元，但信道的傳輸效率也就下降得多。
以上的兩種碼可分別用(2，1)，(3，1)來表示，括弧內的前一位數表示碼長，後一位數表示信息位數，因此碼長為 n，信息位為 k位的碼可表示為( n, k)。
（2）“漢明距離”或“最小碼距”
從以上的例子可看出，一個( n, k)碼的抗干擾能力，完全取決於任二個碼字間對應碼元數值不同的位數。在信道編碼中，把碼字中非零碼元的數目定義為碼的重量，簡稱碼重，如“011”碼重為2。把二個碼字中對應碼元數值不同的位數定義為兩碼字的距離。在一種包括若干碼字 c, c,……, c的碼中，所有這些碼字相互間碼距的最小值，稱為該碼的最小距離或漢明距離，簡稱碼距，用 d表示。它是衡量碼的抗干擾能力大小的標準。 d越大，抗干擾能力越強。圖1給出了由於3位碼元構成的8個碼字的碼，其最小碼距為1。
圖1 碼距的幾何表示
（3）錯誤圖樣和錯誤長度
目前傳輸大多為二進制，所以這裡只討論二進制數字通信中的差錯控制和抗干擾碼。
二進制數字序列中0和1按下述規則進行運算。
模二加：0+0=1+1=0，1+0=0+1=1
模二乘：0·0=1·0=0·1=0，1·1=1
如果傳送端傳送的碼字是 T：11111111，而接收端收到的碼字 R：10010011。傳送序列 T之所以會出現差錯變成 R，是因為在傳輸的途中受到了干擾，疊加了錯誤。二進制出錯無外乎1→0，0→1，即序列中任何一位，只要疊加了一個“1”，則該位就出錯，疊加了“0”，則不出錯。在這裡 T疊加了序列：01101100。我們把它稱為錯誤圖樣 E，即：
R = T+ E
在 E中從第一個“1”至最後一個“1”的長度，稱為錯誤長度，本例中錯誤長度為5。
由於信道干擾所造成的錯誤，可以出現在碼字中的任何一位，而且可以同時出現一位、兩位，直至 n位錯誤。所以若傳送碼字長為 n，則可能產生的錯誤圖樣數有2 －1種。
3．檢錯能力與糾錯能力
（1）檢測 e個錯誤，要求最小碼距
d≥ e+1
也就是說一個碼組的碼距為 d，則它能檢出 小於或等於 d－1個錯誤碼元。
上式可用圖2.16(a)來說明，設碼組中 A、 B兩碼字有最小距離 d。若碼字 A發生 e位錯誤，則可以認為此時錯碼位於以 A為圓心， e為半徑的圓上，只要錯誤位數不大於 e，錯碼的位置就不會超出該圓，由於碼組的最小距離 d為 e+1，所以圓中不會有其他碼字，即錯碼不會和 B及其他碼字混淆，可以識別。
（2）糾正 t個錯誤，要求最小碼距
d≥2 t +1
在圖2.16(b)中，以 A和 B為圓心， t為半徑各作一個圓。由於 d=2 t+1，所以這二個圓距離為1。若出現的錯誤位數小於或等於 t，那么 A碼出錯後的錯誤碼字，只能落在以 A為圓心的這個圓內或圓周上，不可能落在此圓外；同理，對於 B碼也一樣。所以，可以把落在 A圓中的錯碼譯為 A， B圓中的錯碼譯為 B，而不會產生錯譯，但如果錯碼的位數大於 t，例如為 t+1，那么這個錯碼就會落在 B圓上，或其他碼的圓上，從而產生錯譯。所以要能糾 t位錯，碼距不能小於2 t+1。
（3）糾正 t個錯，同時又能檢測 e個錯，要求最小碼距
d≥ e+ t+1
在圖2中，若出現的錯誤位數小於等於 t，則 A碼的錯碼不會超出以 A為圓心 t為半徑的圓周， B碼也一樣，從而可以各自糾正錯誤。但如果錯誤位數大於 t，拿 A碼來說，它的錯碼就要超出 A圓，但由於碼距為 e+ t+1，只要差錯的位數不大於 e，從圖中可看出A的錯碼仍不會落到 B圓或其他碼的圓上去，因此可以發現差錯，但如果差錯位數為 e+1，則可能落到 B圓上或其他碼的圓上，從而被作為 B碼或其他碼糾正，產生錯糾，所以要糾正 t位錯同時又能檢出 e位錯， d不能小於 e+ t+1。
圖2 碼距與糾檢錯能力的關係
