笛卡爾集

笛卡爾集這詞經常出現於資料庫多表查詢中。給定一組域D1,D2,…,Dn,這些域中可以有相同的域。 D1,D2,…,Dn的笛卡兒積為: D1×D2×…×Dn ={(d1,d2,…,dn)|diÎDi,i=1,2,…,n} 其中每一個元素(d1,d2,…,dn)叫作一個n元組或簡稱元組。元組(d1,d2,…,dn)中的每一個值di叫作一個分量。

笛卡爾集是集合的一種,假設A和B都是集合,A和B的笛卡爾積用A X B來表示,是所有有序偶(a,b)的集合,其中a屬於A,b屬於B。

A X B={(a,b)|a屬於A且b屬於 B} ,則AXB所形成的集合就叫笛卡爾集。

設A、B是兩個非空集合,任給x∈A,y∈B,將它們組成一個有序對(x,y),把這種有序對作為新的元素,這些元素的全體組成一個新的集合,稱為集合A與集合B的笛卡兒乘積集合,記作A×B。即

A×B={(x,y)|x∈A且y∈B}

我們有時也稱A×B是A與B的直積。

當A≠B時,A×B≠B×A

例 A={1,2},B={0,1}

A×B={(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)},

B×A={(0,1),(0,2),(1,1),(1,2)},

顯然,A×B≠B×A。

當然,在笛卡兒乘積集合A×B中的A與B可以是任意兩個很不相同的集合。

設R=(-∞,+∞)表示全體實數組成的集合,則R×R={(x,y)|x∈R且y∈R}就是我們所熟悉的平面笛卡兒坐標系。常記為R,即R×R=R。

R×R×RR={(x,y,z)|x∈R,y∈R,z∈R}就是我們後面要講到的空間笛卡兒坐標系。

R×R×…×RR={(x,x,…,x)|x∈R i=1,2,…n}

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