產生背景
MPC不僅在實際套用中，而且在理論上取得了突飛猛進的進展．MPC之所以能成為過程控制中的典範，主要原因在於其對模型的寬容性、有限時域滾動最佳化的有效性以及在設計中考慮各種軟、硬約束的可能性．MPC的研究工作已經發展到針對有擾動、有攝動、有約束的MPC和非線性MPC，研究其穩定性、魯棒性、可行性等．
雖然MPC技術發展已久，但研究MPC系統的穩定性卻一直十分困難，尤其是對於帶約束的MPC以及開環不穩定、有非最小相位、時滯等特性的對象．通常MPC是通過反覆線上求解一個帶約束的有限時域最佳化問題來實現的．有限時域開環最優不能保證閉環穩定，而且MPC系統的閉環描述很難得到，這是研究的困難所在．
在標準MPC問題的基礎上，人們對其描述進行轉化或者添加各種條件、約束，在穩定性研究方面得到許多結果．
研究 MPC系統穩定性的方法可以歸類為以下五種方法：
（1）無限最佳化時域、無限控制時域的預測控制
線性系統無約束MPC問題類似於LQR控制，利用Riccati方程可得到定常增益反饋控制，保證標稱系統穩定．對於帶約束的系統或非線性系統，每一採樣時刻都需要求解一個無窮維的無窮時域最優控制（IHPC），難以實現．但工業實踐中約束及非線性因素又是不可避免的，方便處理約束的能力恰恰正是預測控制的特長所在，因此只能考慮近似求解．如文[8]針對離散時間線性系統帶約束的MPC問題，將一定時域後的控制輸入固定為LQR狀態反饋控制，從而將無窮維的控制問題近似為有限維問題求解．
（2）無限最佳化時域、有限控制時域的預測控制
有限控制時域使最佳化問題中決策變數為有限個數，因此每一採樣時刻只需線上最佳化一個有限維QP問題，並且可以解決約束問題；無窮時域則保證了最優目標函式值在滾動最佳化中的不斷下降，從而得到穩定的MPC系統．
（3）加入終端硬約束
對有限時域滾動最佳化問題加入終端等式約束，在最佳化時域結束時將狀態量或輸出誤差量人為強制為零，早在Kwon等人研究滾動時域控制（RHC）時就已提出．這一思想被人們引入各種形式的預測控制，並發展了相應的MPC 策略，如GPC∞控制和CRHPC． 總的來講，加入終端等式約束後的穩定性多是利用最優性能指標值(作為MPC 系統的Lyapunov 函式) 的單調性來證明的，該方法簡單，並且適用的範圍廣泛，包括非線性系統和有約束系統．除了上述終端等式約束MPC外，從穩定性考慮，人們還引入了不同形式的終端不等式約束，稱為穩定性約束（Stability Constraints）．Polak 和Yang在最佳化過程中加入終端不等式約束，從而針對帶約束的線性連續時間系統，得到了一個壓縮MPC策略，即要求k 時刻的預測狀態量x(k + L)收斂到某一範圍內． 這一壓縮硬約束保證了閉環系統的穩定性．
（4）有限時域終端加權
前述有限時域終端約束的引入，減少了控制器的靈活性和可行區域，甚至會導致可行解不存在．終端狀態強制到零相當於終端加權矩陣為無窮大，這啟發了人們考慮終端加權矩陣若為有限時，如何保證系統穩定性的問題．一種思路是選取特殊形式的終端加權項，並借用無窮時域MPC的穩定性機制．另一種思路是設計終端加權矩陣，求解出使有限時域性能指標值單調下降的條件．文[12]將該思路進行擴展，得到了終端加權矩陣差分不等式條件，該條件可以轉化為LMI進行求解．
（5）內模控制框架下的穩定性研究
內模控制框架下的系統分析是在頻域中進行的．
研究成果
Kouvaritakis等給出了控制算法，以及當目標函式中不考慮控制增量變化時，控制系統穩定性的充分條件及證明．相關文獻：Kouvaritakis B，Rossiter J A，Chang A O T．Stable generalized predictive control: an algorithm with guaranteed stability[J]． IEE Proceedings:Control Theory and Applications，1992，139 (4)：349-362．
Rossiter等通過對SGPC的傳遞函式形式做了一些修改，針對有約束的情況,提出了CSGPC (Constrained SGPC) ,保證系統的輸出預報值能自動完全滿足約束條件．相關文獻：Rossiter J A，Kouvaritakis B．Constrained Stable Generalized Predictive Control [J]． IEE Proc eedings:Control theory and Applications，1993，140(4)：243-254．
考慮到約束的存在使得系統的穩定性難以得到保證，給出了CSGPC的穩定性結果. 雖然該文獻考慮了有外界干擾的情況，但是它是通過考慮用無窮時域以及對系統只有一個不穩定極點的假設來完成的，因此有一定的局限性．相關文獻：Rossiter J A，Kouvaritakis B，Gossner J R．Constrained stable generalized predictive control: stability results and the case of disturbances[J]． Oxford University Technical Report OUEL，1994，20：18-94．
CRHPC和SGPC算法都是保證GPC閉環穩定性的主要方法，從理論上分析了CRHPC和SGPC的聯繫，認為SGPC對開環不穩定的系統具有更好的穩定性,且計算量小．相關文獻：Rossiter J A，Kouvaritekis B．Numerical robustness and efficiency of Generalized Predictive Control algorithms with guaranteed stability[J]． IEE Proceedings:Control theory and Applications，1994，141 (3)：154-162．
給出了閉環穩定的充要條件，提出了保證穩定和漸進跟蹤的改進的CSGPC（MCSGPC）算法．相關文獻：Rossiter J A，Kouvaritakis B，Gossner J R．Feasibility and stability results for constrained Stable Generalized Predictive Control[J]． Automatica，1995，31(6)：863-877．
在考慮約束的情況下，干擾的引入往往使得預測控制策略不可行或者不穩定．有些文獻給出了穩定性條件，但是它們僅限定在系統至多有一個不穩定極點的情況．考慮了有界干擾的情況，給出了保證穩定性的算法．相關文獻：Rossiter J A，Kouvaritakis B，Gossner J R．Stable Generalized Predictive Control with Constraints and Bounded Disturbances[J]． Automatica，1997，33(4)：551-568．
輸入的約束給穩定預測控制器的設計帶來了很大的困難，比較簡單的方法是保證短期可行性，也就是保證未來控制量的存在性．早期的算法是利用設定值決定的終端約束條件來保證系統的穩定性，然而在設定值發生變化時，短期可行性仍得不到保證．採用了鬆弛變數終端約束方法，保證了短期可行性．相關文獻：Rossiter J A，Kouvaritakis B，Gossner J R．Guaranteeing feasibility in constrained stable generalized predictive control[J]． Proc．IEE，PI D，1996，l：463-469．
Chiscia等利用SGPC結構框架的優點，採用動態規劃（DP）方法給出了SGPC-DP算法，使控制算法在保持穩定性的同時也保證數值計算上簡便．相關文獻：Chiscia L，Rossiter J A，Rice M J．Stable GPC by dynamic programming[J] Systems & Control Letters 1998，33：291-300．
劉斌、蔣崢等修正了預測控制器的最優控制律，使被控對象可以無靜差跟蹤設定值，並且給出了當目標函式中考慮控制量變化時SGPC的穩定性充分條件及其證明．相關文獻：劉斌，蔣崢等．穩定廣義預測控制與性能分析[J]． 控制理論與套用，2006，23(3)：378-382．
李印坤、劉曉華等將針對一類線性離散被控對象，同時考慮被控對象的參數時變和外部擾動的存在，採用Min-Max最佳化方法，提出一種新的穩定廣義預測控制（MMSGPC）算法．相關文獻：李印坤，劉曉華．不確定系統的穩定廣義預測控制[J]． 控制工程，2009，16（4），442-445.
