數學之美[數學中讓人愉悅的東西]:《數學之美》是人民郵電出版社於2012 -百科知識中文網

內容簡介

幾年前，“數學之美”系列文章原刊載於谷歌黑板報，獲得上百萬次點擊，得到讀者高度評價。讀者說，讀了“數學之美”，才發現大學時學的數學知識，比如馬爾可夫鏈、矩陣計算，甚至餘弦函式原來都如此親切，並且栩栩如生，才發現自然語言和信息處理這么有趣。

今年，作者吳軍博士幾乎把所有文章都重寫了一遍，為的是把高深的數學原理講得更加通俗易懂，讓非專業讀者也能領略數學的魅力。讀者通過具體的例子學到的是思考問題的方式 —— 如何化繁為簡，如何用數學去解決工程問題，如何跳出固有思維不斷去思考創新。

作者簡介

吳軍博士，畢業於清華大學（本科、碩士）和美國約翰·霍普金斯大學（博士）。在清華大學和約翰·霍普金斯大學期間，吳軍博士致力於語音識別、自然語言處理，特別是統計語言模型的研究。他曾獲得1995年全國人機語音智慧型接口會議的最佳論文獎和2000年Eurospeech的最佳論文獎。曾任騰訊公司主管搜尋、線上廣告和雲計算基礎架構的副總裁，在加入騰訊之前，在谷歌工作，2013年離開騰訊，回到谷歌。

吳軍博士於2002年加入Google公司。在Google，他和Amit Singhal（Google院士，世界著名搜尋專家）、Matt Cutts（Google反作弊官方發言人）等三位同事一起開創了網路搜尋反作弊的研究領域，並因此獲得Google工程獎。2003年，他和Google全球架構的總工程師朱會燦博士等共同成立了中日韓文搜尋部門。吳軍博士是當前Google中日韓文搜尋算法的主要設計者。在Google期間，他還領導了許多研發項目，包括許多與中文相關的產品和自然語言處理的項目，並得到了當時公司執行長埃里克·施密特和創始人謝爾蓋·布林的高度評價。

吳軍博士在國內外發表過數十篇論文，並獲得和申請了十餘項美國和國際專利。他撰寫的《浪潮之巔》一書深受業界的好評。他於2007年起擔任風險投資基金中國世紀基金的董事。2011年起，當選為約翰·霍普金斯大學工學院董事會董事，並在該校的國際事務委員會擔任顧問。他是國家重大專項“新一代搜尋引擎和瀏覽器”項目的總負責人，從2012年起任職工業與信息化部的專家和顧問。

作品目錄

出版說明
序言1
序言2
前言
第1章　文字和語言 vs 數字和信息
第2章　自然語言處理 — 從規則到統計
第3章　統計語言模型
第4章　談談中文分詞
第5章　隱含馬爾可夫模
第6章　信息的度量和作用
第7章　賈里尼克和現代語言處理
第8章　簡單之美 — 布爾代數和搜尋引擎的索引
第9章　圖論和網路爬蟲
第10章　PageRank — Google的民主表決式網頁排名技術
第11章　如何確定網頁和查詢的相關性
第12章　地圖和本地搜尋的最基本技術 — 有限狀態機和動態規劃
第13章　Google AK-47的設計者 — 阿米特 · 辛格博士
第14章　餘弦定理和新聞的分類
第15章　矩陣運算和文本處理中的兩個分類問題
第16章　信息指紋及其套用
第17章　由電視劇《暗算》所想到的 — 談談密碼學的數學原理
第18章　閃光的不一定是金子 — 談談搜尋引擎反作弊問題
第19章　談談數學模型的重要性
第20章　不要把雞蛋放到一個籃子裡 — 談談最大熵模型
第21章　拼音輸入法的數學原理
第22章　自然語言處理的教父馬庫斯和他的優秀弟子們
第23章　布隆過濾器
第24章　馬爾可夫鏈的擴展 — 貝葉斯網路
第25章　條件隨機場和句法分析
第26章　維特比和他的維特比算法
第27章　再談文本自動分類問題 — 期望最大化算法
第28章　邏輯回歸和搜尋廣告
第29章　各個擊破算法和Google雲計算的基礎
附錄
後記
索引

表述

概念

美是人類創造性實踐活動的產物，是人類本質力量的感性顯現。通常我們所說的美以自然美、社會美以及在此基礎上的藝術美、科學美的形式存在。數學美是自然美的客觀反映，是科學美的核心。簡言之數學美就是數學中奇妙的有規律的讓人愉悅的美的東西。

歷史上許多學者、數學家對數學美從不同的側面作過生動的闡述。普洛克拉斯早就斷言：“哪裡有數學，哪裡就有美。”亞里士多德也曾講過：“雖然數學沒有明顯地提到善和美，但善和美也不能和數學完全分離。因為美的主要形式家是“秩序、勻稱和確定性”，這些正是數學研究的原則。”

我國著名數學家華羅庚說過：“就數學本身而言，是壯麗多彩、千姿百態、引人入勝的……認為數學枯燥乏味的人，只是看到了數學的嚴謹性，而沒有體會出數學的內在美。”數學家徐利治說：“作為科學語言的數學，具有一般語言文字與藝術所共有的美的特點，即數學在其內容結構上和方法上也都具有自身的某種美，既所謂數學美。數學美的含義是豐富的，如數學概念的簡單性、統一性，結構關係的協調性、對稱性，數學命題與數學模型的概括性、典型性和普遍性，還有數學中的奇異性等等都是數學美的具體內容。”

以上的論述可見，數學中充滿著美的因素，數學美是數學科學的本質力量的感性和理性的呈現，它不是什麼虛無飄渺、不可捉摸的東西，而是有其確定的客觀內容。

區別

數學美有別與其它的美，它沒有鮮艷的色彩，沒有美妙的聲音，沒有動感的畫面，它卻是一種獨特的美。

德國數學家克萊因曾對數學美作過這樣的描述：“音樂能激發或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科技可以改善物質生活，但數學卻能提供以上一切。”

數學美與其它美的區別還在於它是蘊涵在其中的美。打個比方來說，大家一定都有這種感覺，絕大部分同學對音體美容易產生興趣，而對數學感興趣的不多。我認為，這主要有兩個方面的原因：一是音體美中所表現出來的美是外顯的，這種美同學們比較容易感受、認識和理解；而數學中的美雖然也有一些表現在數學對象的外表，如精美的圖形、優美的公式、巧妙的解法等等，但總的來說數學中的美還是深深地蘊藏在它的基本結構之中，這種內在的理性美學生往往難以感受、認識和理解，這也是數學區別於其它學科的主要特徵之一。二是長期以來，我們的數學教材過分強調邏輯體系和邏輯推演，忽視數學美感、數學直覺的作用，長此以往，學生將數學與邏輯等同起來。一味注重數學的邏輯性而忽視了數學本身的美，學習的過程中就會感到枯燥無味缺乏興趣。

大多數的 數學家會由他們的工作及一般數學裡得出美學的喜悅。他們形容數學是美麗的來表示這種喜悅。有時，數學家會形容數學是一種藝術的形式，或至少是一個創造性的活動。通常拿來和音樂和詩歌相比較。

數學之美還在於其對生活的精確表述、對邏輯的完美演繹。可以說正是這種精確性才成就了現代社會的美好生活。

感覺

伯特蘭·羅素以下列文字來形容他對數學之美的感覺：

Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty — a beauty cold and austere, like that of sculpture, without appeal to any part of our weaker nature, without the gorgeous trappings of painting or music, yet sublimely pure, and capable of a stern perfection such as only the greatest art can show. The true spirit of delight, the exaltation, the sense of being more than Man, which is the touchstone of the highest excellence, is to be found in mathematics as surely as poetry. (The Study of Mathematics, in Mysticism and Logic, and Other Essays, ch. 4, London: Longmans, Green, 1918.)

翻譯：數學，如果正確地看它，則具有……至高無上的美——正像雕刻的美，是一種冷而嚴肅的美，這種美不是投合我們天性的微弱的方面，這種美沒有繪畫或音樂的那些華麗的裝飾，它可以純淨到崇高的地步，能夠達到嚴格的只有最偉大的藝術才能顯示的那種完美的境地。一種真實的喜悅的精神，一種精神上的亢奮，一種覺得高於人的意識——這些是至善至美的標準，能夠在詩里得到，也能夠在數學裡得到。（研究數學，在神秘主義和邏輯，與其他論文，概括。4、倫敦：浪漫書屋，綠色，1918年。）

保羅·埃爾德什形容他對數學不可言說的觀點，而說：“為何數字美麗呢？這就像是在問貝多芬第九號交響曲為什麼會美麗一般。若你不知道為什麼，其他人也沒辦法告訴你為什麼。我知道數字是美麗的。且若它們不是美麗的話，世上也沒有事物會是美麗的了。”

有趣的數學

它的最美之處莫過於在無形之中就讓你思維變得敏捷．考慮事情時，不在那么偏激，那么單一．

作為一個公民來說了不了解它是一個後話，至少應該不否定它．尤其是學生．

讓我們先來看看看下面的算式：

1 x 8 + 1= 9

12 x 8 + 2= 98

123 x 8 + 3= 987

1234 x 8 + 4= 9876

12345 x 8 + 5= 98765

123456 x 8 + 6= 987654

1234567 x 8 + 7= 9876543

12345678 x 8 + 8= 98765432

123456789 x 8 + 9= 987654321

1 x 9 + 2= 11

12 x 9 + 3= 111

123 x 9 + 4= 1111

1234 x 9 + 5= 11111

12345 x 9 + 6= 111111

123456 x 9 + 7= 1111111

1234567 x 9 + 8= 11111111

12345678 x 9 + 9= 111111111

123456789 x 9 +10= 1111111111

9 x 9 + 7= 88

98 x 9 + 6= 888

987 x 9 + 5= 8888

9876 x 9 + 4= 88888

98765 x 9 + 3= 888888

987654 x 9 + 2= 8888888

9876543 x 9 + 1= 88888888

98765432 x 9 + 0= 888888888

1 x 1= 1

11 x 11= 121

111 x 111= 12321

1111 x 1111= 1234321

11111 x 11111= 123454321

111111 x 111111= 12345654321

1111111 x 1111111= 1234567654321

11111111 x 11111111= 123456787654321

111111111 x 111111111= 12345678987654321

3 x 4=12

33 x 34=1122

333 x 334=111222

3333 x 3334=11112222

33333 x 33334=1111122222

333333 x 333334=111111222222

142857 x1=142857

142857x 2=285714

142857x 3=428571

142857x 4=571428

142857x 5=714285

142857x 6=857142

142857x 7=999999

11x 101=1111

12x 101=1212

13x 101=1313

14x 101=1414

15x 101=1515

16x 101=1616

17x 101=1717

18x 101=1818

19x 101=1919

20x 101=2020

內容

隨著數學的發展和人類文明的進步，數學美的概念會有所發展，分類也不相同，但它的基本內容是相對穩定的，這就是：對稱美、簡潔美、統一美和奇異美。

對稱美

所謂對稱性，既指組成某一事物或對象的兩個部分的對等性，從古希臘的時代起，對稱性就被認為是數學美的一個基本內容。畢達哥拉斯就曾說過：“一切平面圖形中最美的是圓，在一切立體圖形中最美的是球形。”這正是基於這兩種形體在各個方向上都是對稱的。

中國的建築就很好的套用了數學的對稱美，有許多的園林建築都套用了這一點。

數學中的這種對稱處處可見：幾何中具有的對稱性（中心對稱、軸對稱、鏡象對稱等）的圖形很多，都給我們一種舒適優美的感覺。幾何變換也具有對稱性。

楊輝三角更組成美麗的對稱圖案

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

……

分析：在楊輝三角的圖案中每一行的除了首尾的數字是1以外，其他的數字是左上角和右上角的數字的和。這樣就構成了有規律的並且是成對稱的形狀的三角圖案了。

集合運算中的下面兩個公式的對稱性也是極其優美的：

C（A ）=CA CB C (A B ) =CA CB

兩個集合的並（交）的補集就是兩個集合補集的交（並）。

數學的解題中也體現對稱美：

例1、

解：原式=111111111×111111111

=12345678987654321

分析：等式的一邊是九個1乘以九個1，另一邊是九個數字的排列並且成對稱的，結果也是九個數字組成的對稱的結構，真是太出人意料了太美妙了

例2、 0×9+1=1

1×9+2=11

12×9+3=111

123×9+4=1111

1234×9+5=11111

…………………

分析：例2中也蘊涵著對稱留給讀者去體會。

此外代數中的對稱多項式，有理係數的多項式方程無理根成對出現，實係數的多項式方程虛根成對出現，函式及其反函式圖象的關係，線性方程組的距陣表示及克萊姆法則等都呈現出對稱性。

還有一個類似對稱的詞勻稱。“勻稱性”的概念可以看成“對稱性”的概念的自然發展。線段的黃金分割就是一個典型的例子，主要是因為由此構成的長方形給人以“勻稱美”的

感覺。黃金分割比…也被譽為“人間最巧的比例”。世界上許多著名的建築廣泛採用黃金分割的比例。一些名畫的主題，電影畫面的主題大多放在畫面的0.618處，給人以舒適的美感。樂曲中較長一段一般是總長度的0.618，弦樂器的聲碼放在琴弦的0.618處會使聲音更甜美。另外，黃金分割比在優選法中有著重要的作用。

簡潔美

漢語的語言要求言簡意賅，同樣數學作為邏輯性很強的學科它的語言表達也是簡潔的。

簡單性（或稱簡潔性）也是數學美的一個基本內容。數學的簡潔性是人類思想表達經濟化要求的反映，它同樣給人以美感。愛因斯坦說過：“美在本質上終究是簡單性。”

數學語言本身就是最簡潔的文字，同時反映客觀規律極其深刻，許多複雜的客觀現象，總結為一定的規律時，往往呈現為十分簡單的公式。

歐拉給出的公式：V－E+F=2，堪稱“簡單美”的典範。世間的多面體有多少沒有人能說清楚。但它們的頂點數V、棱數E、面數F，都必須服從歐拉給出的公式，一個如此簡單的公式，概括了無數種多面體的共同特性，令人驚嘆不已。在數學中，像歐拉公式這樣形式簡潔、內容深刻、作用很大的定理還有許多。

比如：圓的周長公式：C=2πR 任意一個圓它的周長都滿足這樣的公式。

勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊平方。在所有的直角三角形中直角邊和斜邊都滿足這樣的關係。

正弦定理：ΔABC的外接圓半徑R，則把三角形的邊、角和它的外接圓的半徑建立了簡單的數學關係。

數學中絕大部分公式都體現了“形式的簡潔性，內容的豐富性”。正如偉大的希而伯特曾說過：“數學中每一步真正的進展都與更有力的工具和更簡單的方法的發現密切聯繫著”。如笛卡爾坐標系的引入。對數符號的使用，複數單位的引入。微積分的出現都體現了數學外在形式更簡潔，內容更深厚。

著名的皮亞諾公式只用了三個不加定義的原始概念和五個不加證明的公理，顯示了邏輯上的簡潔。由此產生的自然數理論是現代數學基礎研究的起點，這三個原始概念是“自然數”，“1”，“後繼（數）”；五個公理是：

公理一：1是自然數，

公理二：任何自然數的後繼也是自然數，

公理三：沒有兩個自然數有相同的後繼，

公理四：1不是任何自然數的後繼，

公理五：若一個有自然數組成的集合S含有1，且當S含有任一個自然數時，也一定含有它的後繼，則S就含有全體自然數。

數學的簡潔美還表現在形態上，即數學美的外部表現形態，是數學定理和數學公式(或表達式)的外在結構中呈現出來的美。形態美的主要特徵，在於它的簡單性。例如，英國科學家牛頓用F=ma概括了力、質量、加速度之間的定量關係；又如，德國科學家愛因斯坦用E=mc^2 揭示了自然界的質量和能量的轉換關係；這裡F=ma、E=mc^2就外在形式而論，都是非常簡潔的，不失為數學形態美的範例。再如，中國數學家和語言學家周海中關於梅森素數分布的猜測：當2^（2^n）<p<2^（2^（n+1））時，Mp有2^（n+1）－1個是素數（p為素數；n為自然數；Mp為梅森數）。著名數學家張景中院士認為，“周氏猜測”以非常簡潔、優美的形式揭示了數學之美。

統一美

所謂統一美，是指部分與部分、部分與整體之間的和諧一致。

在數學中有好多數學統一性的例子。例如，引入負數，有了相反數的概念之後，有理數的加法和減法得到統一，它們可以統一為代數和的形式。有了倒數的概念，除以一個不等於零的數等於乘上它的倒數，於是乘法與除法得到了統一。例如平面幾何中的相交弦定理、割線定理、切割線定理和切線長定理均可統一到圓冪定理之中。在體積計算中有所謂的“萬能計算公式”，它能統一地套用於棱（圓）柱、棱（圓）錐及棱（圓）台的體積計算

統一美反映的是審美對象在形式或內容上的某種共同性、關聯性或一致性,它能給人一種整體和諧的美感。數學對象的統一性通常表現為數學概念、規律、方法的統一,數學理論的統一,數學和其它科學的統一。

數學概念、規律、方法的統一。一切客觀事物都是相互聯繫的，因而,作為反映客觀事物的數學概念、數學定理、數學公式、數學法則也是互相聯繫的，在一定條件下可處於一個統一體之中。例如，運算、變換、函式分別是代數、幾何、分析這三個數學分支中的重要概念,在集合論中,便可統一於映射的概念。又如代數中的算術平均——幾何平均定理、加權平均定理、冪平均定理、加權冪平均定理等著名不等式,都可以統一於一元凹、凸函式的琴森不等式。

在數學方法上，同樣滲透著統一性的美。例如,從結構上分析，解析法、三角法、複數法、向量法和圖解等具體方法,都可以統一於數形結合法。數學中的公理化方法,使零散的數學知識用邏輯的鏈條串聯起來,形成完整的知識體系,在本質上體現了部分和整體之間的和諧統一。

數學理論的統一。在數學發現的歷史過程中，一直存在著分化和整體化兩種趨勢。數學理論的統一性主要表現在它的整體性趨勢。歐幾里德的《幾何原本》,把一些空間性質簡化為點、線、面、體幾個抽象概念和五條公設及五條公理,並由此導致出一套雅致的演繹理論體系,顯示出高度的統一性。布爾基學派的《數學原本》,用結構的思想和語言來重新整理各個數學分支,在本質上揭示數學的內在聯繫,使之成為一個有機整體,在數學的高度統一性上給人一美的啟迪。

數學和其它科學的統一。數學和其它科學的相互滲透，導致了科學數學化。正如馬克思所說的,一門科學只有當它成功的運用數學時,才算達到了真正完善的地步。力學的數學化使牛頓建立了經典力學體系。科學的數學化使物理學與數學趨於統一。建立在相對論和量子論兩大基礎理論上的物理學,其各個分支都離不開數學方法的套用,它們的理論表述也採用了數學的形式。化學的數學化加速了化學這門實驗性很強的學科向理論科學和精確科學過渡。生物數學化使生物學日益擺脫對生命過程進行現象描述的階段,從定性研究轉向定量研究,這個數學化的方向,必將同物理學、化學的數學化方向一樣,把人類對生命世界的認識提高到一個嶄新的水平。不僅自然科學普遍數學化了,而且數學方法也進入了經濟學、法學、人口學、人種學、史學、考古學、語言學、文學等社會科學領域,日益顯示出它的效用。數學進入經濟學領域最大的成就是本世紀出現的計量經濟學。數學進入語言學領域，使語言學研究經歷了統計語言學、代數語言學和算法語言學三個階段。數學向文學的滲透,發現了數學的抽象推理和符號運算同文學的形象思維之間有著奇妙的聯繫。

奇異美

人們提起數學的時候通常會說“奇妙的數學”，數學的學習和解題中也有一些非常規的奇妙的解法等等。這些就是我們通常說的數學的奇異性。

徐利治教授說“奇異是一種美，奇異到極度更是一種美。”弗蘭西斯·培根曾說：“沒有一個極美的東西不是在勻稱中有著某種奇異。”這句話的意思是：奇異存在於美的事物之中，奇異是相對於我們所熟悉的事物而言。一個事物十分工整對稱、十分簡潔或高度統一，都給人一種奇異感，一個新事物、新規律、新現象的被揭示，總是使人們感到一種帶有奇異的美感，令人產生一種驚奇的愉快。數學審美對象的奇異性有以下幾種典型表現形式。奇異性是數學美的一個重要特徵，它反映了顯示世界中非常規現象的一個側面，也是數學發現中的重要美學因素。數學領域中的一些新的觀念的產生，就是來自對奇異美的追求。

畢達哥拉斯學派認為任何數量都可表示成整數或兩個整數的比，而無理數的發現無疑是一個奇異的結果。它打破了原先的數的和諧性，被稱為第一次數學危機。

奇異性常常和數學中的反例緊密相聯，反例的產生則往往導致人們的認識能夠的深化和數學理論的重大發展。例如人們以為一切函式都是連續的，連續性不被人們所注目，當有間斷點的函式出現以至於有著名的狄里克萊函式：D（x）= （x為有理數1時函式值等於1，x為無理數量函式值為0）出現時，由於它在實數軸上處處有定義，但卻處處間斷，這種奇異性的發現使人們對連續性的美妙之處看得更清楚了。同樣，當魏爾斯特拉斯給出處處連續而處處不可微的函式時，人們對可微的概念便有了更深刻的認識。

關於數學的奇異性，接下來我講一個蒲豐用投針求圓周率的近似值的試驗也是數學方法奇異性的一個典型例子。有一天蒲豐邀請許多賓朋來家做了一個奇特的實驗。他事先在白紙上畫好了一條條有等距離的平行線，將紙鋪在桌上，又拿出一些質量勻稱長度為平行線間距離之半的小針，請客人把針一根根隨便仍到紙上，蒲豐則在一旁計數，結果共投2212次，其中與任意平行線相交的有704次，蒲豐又做了一簡單的除法，然後他宣布這就是圓周率的近似值，還說投的次數越多越精確。這個實驗使人震驚，圓周率和一個表面看來毫不相干的隨便投針實驗溝通在一起。然而，這確實是有理論根據的。計算圓周率的這一方法新穎、奇妙而讓人叫絕，充分顯示了數學方法的奇異美。

另外，四元數理論、突變理論、非歐幾何等等無不顯示出數學的奇異美

還有這樣一個問題：“凸n(n>4)邊形的對角線最多有幾個交點？”這個問題，按照習慣，也許會從四邊形開始，逐步通過五邊形、六邊形……來構造對角線的交點，從中歸納出一般規律。當一次次構造的嘗試都未獲得理想的結果時，我們要敢於放棄傳統方法，另闢蹊徑：一個交點是由兩條對角線相交而成，兩條對角線由四個頂點確定，而凸n邊形任意四個頂點都能且只能確定一個交點，於是問題就轉化為“在n個頂點中任意取四個，共有幾種取法。”新穎的方法帶來了意想不到的效果，這便是化歸法的奇異美所在。

在教學“奇妙的9”時，舉了一些式子也是數學奇妙性的反映

2×9=18 1+8=9

13×9=117 1+1+7=9

26×9=234 2+3+4=9

56×9=504 5+0+4=9

78×9=702 7+0+2=9

通過觀察，他們發現任意的一個自然數乘9，乘的的積的各個數位上的和均為9的倍數，這是多么美妙的發現，學生在體驗到成功的喜悅的同時，也體會到了數學的神奇美。

奇巧的東西給人以奇異、巧妙之感，高度的奇巧更是令人賞心悅目。數學中充滿著奇巧的符號、公式、算式、圖形和方法。歐拉給出的著名公式eip+1=0,將最基本的代數數0，1，i和超越數p，e用最基本的運算符號，通過最方便的方式巧妙的組合在一起，可謂數學創造的藝術精品。歐拉求無窮級數 1/n2和的方法、蒲豐投針求p值的方法、希爾伯特解決果爾丹問題的存在性證明方法，都以其巧妙而贏得學術界的高度讚美。

神秘的東西都帶有某種奇異色彩，使人產生幻想和揭示其奧妙的欲望。某些數學對象的本質在沒有充分暴露之前，往往會使人產生神秘或不可思議感。比如，在歷史上，虛數曾一度被看作是“幻想中的數”、“介於存在和不存在之間的兩棲物”；無窮小量dx曾長期被蒙上神秘的面紗，被英國大主教貝克萊稱為“消失了量的鬼魂”；彭加勒把集合論比喻為“病態數學”，外爾則稱康托爾關於基數的等級是“霧上之霧”；非歐幾何在長達半個世紀的時間內被人稱為“想像的幾何”、“虛擬的幾何”等等。當然，當人們認識到這些數學對象的本質後，其神秘性也就自然消失了。

重要美

數學在人類文明的發展中起著非常重要的作用，數學推動了重大的科學技術進步。但在歷史上，限於技術條件，依據數學推理和推算所作的預見，往往要多年之後才能實現。數學為人類生產和生活帶來的效益容易被忽視。進入二十世紀，尤其是到了二十世紀中葉以後，科學技術發展到這一步：數學理論研究與實際套用之間的時間差已大大縮短，特別是當前，隨著電腦套用的普及，信息的數位化和信息通道的大規模聯網，依據數學所作的創造構想已經達到可即時試驗、即時實施的地步。數學技術將是一種套用最廣泛、最直接、最及時、最富創造力和重要的實用技術。

數學與科學技術進步：

二十世紀科學技術進步給人類生產和生活帶來的巨大變化確實令人讚嘆不已。從遠古時代起一直是人們幻想的“順風耳”，“千里眼”，“空中飛行”和“飛向太空”都在這一世紀成為現實。回顧二十世紀的重大科學技術進步，以下幾個項目元疑是影響最大的，而數學的預見和推動作用是非常關鍵。

先有了麥克斯韋方程人們從數學上論證了電磁波，其後赫茲才有可能做發射電磁波的實驗，接著才會有電磁波聲光信息傳遞技術的發展；

愛因斯坦相對論的質能公式首先從數學上論證了原子反應將釋放出的巨大能量，預示了原子能時代的來臨．隨後人們才在技術上實現了這一預見，到了今天，原子能已成為已開發國家電力能源的主要組成部分；

牛頓當年已經通過數學計算預見了發射人造天體的可能性，差不多過了將近三個世紀，人們才實現了這一預見；

電子數字計算機的誕生和發展完全是在數學理論的指導下進行的。數學家圖靈和馮諾依曼的研究對這一重大科學技術進步起了關鍵性的推動作用；

遺傳與變異現象雖然早就為人們所注意。生產和生活中也曾培養過動植物新品種。遺傳的機制卻很長時間得不到合理解釋，十九世紀60年代，孟德爾以組合數學模型來解釋他通過長達8年的實驗觀察得到的遺傳統計資料，從而預見了遺傳基因的存在性。多年以後，人們才發現了遺傳基因的實際承載體，到了本世紀50年代沃森和克里發現了DNA分子的雙螺鏇結構。這以後，數學更深刻地進入遺傳密碼的破譯研究。

數學是人類理性思維的重要方式，數學模型，數學研究和數學推斷往往能作出先於具體經驗的預見。這種預見並非出於幻想而是出於對以數學方式表現出來的自然規律和必然性的認識，隨著科學技術的發展，數學、預見的精確性和可檢驗性日益顯示其重意義。

時代大潮的潮頭：

我們面臨一個科學技術迅猛發展的時代。信息的數位化和信息的數學處理已經成為幾乎所有高科技項目共同的核心技術。從事先設計、制定方案，到試驗探索、不斷改進，到指揮控制、具體操作，處處倚重於數學技術。眾多新聞報導反映出這一時代大潮洶湧澎湃的勢頭。下面列舉的僅僅是其中一小部分。

數學技術已經成為工業新產品研製設計的重要關鍵技術。1994年4月9日，被稱為“百分之百數位化確定”的波音777型飛機舉行盛大隆重的出廠典禮．在過去，進行新機型設計，必須對模型構件和樣機反覆作強度試驗和空氣動力學性試驗。稍有不妥，就必須改變設計再來一輪試驗。新機種的研製周期長達十餘年，消耗大量原材料和能源，採用了數學技術以後，所有的試驗可以通過精確設定的數學模型在計算機中進行，探索和修改都可以通過數學指令去實現。新機種的研製周期從十多年縮短到三年半，大幅度節約了原材料和能源；

許多國家認識到，發展高清晰度電視是未來經濟技術競爭的主戰場之一。日本和美國都投入大量資金和人力進行有關研究，日本起步最早，但所研究的是模擬式的；美國雖然起步稍晚，但所研究的是數字式的。經過多年的較量，數字式研究以其高度優越性取得關鍵性勝利。1994年 2月24日《人民日報》報導：日本政府正式宣布，轉向研究數字式高清晰度電視，承認數字式因其優越性而得到世界多數國家贊同，很可能成為未來的國際標準；

應該指出，電視螢幕不僅是現代人們日常生活所不可缺少的，而且可能通過聯網成為信息傳遞處理的工作面。幾乎所有重要的工作崗位都將與之有關。數學技術在如此重要項目的激烈較量中起了決定作用。

1991年的海灣戰爭是一場現代高科技戰爭，其核心技術竟然也是數學技術。這一事實引起人們不小的驚訝。美國總結海灣戰爭經驗得出結論是：“未來的戰場是數位化的戰爭”。

干擾和失真是電磁波通信的一大難題。早在六十年代太空開發競爭的初期，美國施行"阿波羅登月計畫"時，就已經意識到：由於太空中過強的干擾，無論依靠怎樣精密的電子硬體設備，也無法收到任何有用的信息，更不用說操縱控制了，採用了信息數位化、糾錯編碼、數字濾波等一整套數學通訊技術和數學控制技術之後，送人登月的計畫才得以順利完成，二十年後，在海灣戰爭中，多國部隊方面使用這一套技術把對方干擾得既聾又瞎，卻能讓自己方面的信息暢通無阻。採用精密的數學技術，可以在短短數十秒的時間內準確攔截對方發射的飛彈，又可以引導對方發射飛彈準確擊中對方的目標。也正是這一套信息數位化的數學技術，在開發高清晰度電視的競爭中取得壓倒性的勝利。開發一種數學技術可以在如此眾多方面施展效用，足見數學的廣泛適用性。

1995年1月，在販神大地震之後，美國利用數學模型進行地震預測，預告本世紀末加州南部可能發生大地震；

1995年3月，我國中央人民廣播電台宣布啟用數字式轉播方式，指出以前的模擬式轉播方式效果差，所以改用新的轉播方式；

1995年6月，歐州聯盟開會研討未來數位化通信的統一制式；

1996年2月，我國電子工業部宣布“九五計畫”開發重點：數位化信息技術。所訂的兩個重點研製項目是：數字式高清晰度電視接受機樣機和數字式雷射盤；

1996年4月，我國國家科委發布招標公告，正式宣布數字式高清晰度電視開發項目。

當代與未來的發展倚重數學：

僅以幾件事為例就能清楚地看到數學對當代人們的生產和生活所起的重要作用。當代的生產和生活離不開石油，石油勘探和生產需要了解地層結構。多年以來已經發展了一整套數學模型和數學程式。人們發射地震波，然後將各個層面反射回來的信息收集起來力。以數學處理，就能將地層各個剖面的圖像和地層結構的全貌展現出來。這已是目前石油勘探與生產普遍採用的數學技術。無獨有偶，涉及到人的生命也有類似的情況，醫生需要了解病人軀體內部和器官內部的狀況與變異，以前的調光片將骨骼和各種器官全都重疊在一起，往往難以辨認）現在也有了一整套數學方案。藉助了精密設備收集射線穿透人體或核磁共振帶出的信息力。以數學處理就能將人體各個削麵的狀況清晰地層現出來，需要了解哪個層面就可以調出哪個層面的圖片來，關係到人們的生產與生活，這樣的例證很多很多。

在涉及生存與發展的關鍵時刻，特別是在涉及人類命運的緊要關頭，數學也起著非常重要的作用。在進入本世紀最後十年的時候，美國國家研究委員會公布了兩份重要報告《人人關心數學教育的未來》和《振興美國數學—— 90 年代的計畫》．兩份報告都提到：近半個世紀以來，有三個時期數學的套用受到特別重視，促進了數學的爆炸性發展，“第二次世界大戰促成了許多新的強有力數學方法的發展……“由於蘇聯人造衛星發射的刺激，美國政府增加投入促進了數學研究與數學教育的發展”，“計算機的使用擴大了對數學的需求”．在二次世界大戰太平洋戰場的關鍵時刻，由於採用數學方法破譯日軍密碼，美國海軍才能在艦隻力量對比絕對劣勢的情況下，贏得中途島海戰的勝利，殲滅日本聯合艦隊的主力，扭轉整個太平洋戰局。在關係人類命運的二次世界大戰中，美國幾乎是整個反法西斯戰線的後勤補給基地。到了反攻階段，要組織跨越兩個大洋的大規模行動，物資調運和後勤支援成了非常關鍵的問題，這刺激了有關數學方法的迅速發展。這期間發展起來並且在戰後迅速普及到各個方面的線性規劃實用數學技術，為人類帶來了數以千億計的巨大效益。到了1957年，蘇聯將第一顆人造衛星迭人太空，震撼了美國朝野。意識到有關數學套用方面的差距，美國政府加大投入，促進了數學研究與數學教育的迅速發展，隨著計算機的發展，對數學有了空前的需求，刺激數學進入了第三個大發展的時期。

已經有了很多很多極有說服力的例證，說明無論在日常的生產和生活中，還是在涉及生存和發展的關鍵時刻，數學都起著非常重要的作用，在新世紀即將到來之前科學技術和生產的發展對數學提出了空前的需求，我們必須把握時機增大投入，加強數學研究與數學教育，提高全民族的數學素質，才能更好地迎接未來的挑戰。

比例美

黃金分割又稱黃金律，是指事物各部分間一定的數學比例關係，即將整體一分為二，較大部分與較小部分之比等於整體與較大部分之比，其比值為1∶0.618或1.618∶1，即長段為全段的0.618。0.618被公認為最具有審美意義的比例數字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被稱為黃金分割。

類別

數學知識的審美教育主要是通過教學使學生感受數學知識的內在美，諸如數字美、符號美、構圖美等，培養和提高學生的審美能力，培養學生對數學知識美的熱愛，通過學生的"內化"，逐步遷移為對數學知識的熱愛和追求，從而激發學生對數學的學習興趣，開發學生的智力，從而達到育人的目的。國小數學課程中隱含著豐富的美育因素，我們要充分發掘數學教材中的美育因素，讓孩子感受到數學的美，進而喜歡數學。數學教材中隱含的美育因素主要包括以下幾個方面：

數學的簡潔與抽象美

數學的簡潔美，並不是指數學內容本身簡單，而是指數學的表達形式、數學的證明方法和數學的理論體系的結構簡潔。公式C=2πR就是其中一例。幾何中完美的圖形——圓，內含的周長與半徑有著異常簡潔和諧的關係，一個傳奇的數"π"把它們緊緊相連。又如，數“1”，小至一個原子、粒子；大至一個太陽、一個宇宙……宇宙萬物，均可以用“1”來表示。幾何形體的各種求面積、體積公式，簡潔實用，萬無一失，只要符合有關條件，計算不出錯誤，就可以得到正確的結果。細心的人還可以找到他們之間的內在聯繫。再如，許多簡便的解法，也是數學簡潔美的體現。

簡單舉例：

計算1

1/2 +1/6 +1/12 +1/20 +1/30 +1/42 +1/56 +1/72 +1/90

面對這個計算題，若貿然用一般的通分的方法

來解決，會帶來繁雜的計算。當仔細審視這題的特點，發現每一項的分數的分子皆是1，而分母可分別分拆成兩個相連的自然數之積，即1×2,2×3,3×4,4×5,5×6,6× 7,7×8,8×9,9×10，於是，立即使我們聯想到，把每個分數都分拆成兩個分數之差。這樣一來，儘管計算過程中分數的項數增加了一倍，但出現正負相間的兩個相同的分數，中間的項對消了，只剩下首末兩項，從而很快獲得結果，即

原式=1/1*2 + 1/2*3 + 1/3*4 +1/4*5 +1/5*6 + 1/6*7 +1/7*8 +1/8*9 +19*10

=（1-1/2）+（1/2-1/3）+（1/3-1/4）+（1/4-1/5）+（1/5-1/6）+（1/6-1/7）+（1/7-1/8）+（1/8-1/9）+（1/9-1/10）

=1-1/10

=9/10

這一簡潔的解法，給人以美的享受。

數字和符號美

美好的數字：一是萬物之始，一統天下，一馬當先，何其壯美；二是偶數，雙喜臨門，比翼雙飛，多么美好幸福；三是升的諧音，表示多數，三教九流，三生有幸，三番四次，四是全包圍結構，四平八穩，小四合院獨具特色，四通八達，四季發財；對於一個循環小數，可以採用循環節的記數法，簡潔準確的表示出來。數學學習中還涉及到許多符號，如四則運算中的"+、－、×、÷"，比較大小的 "<、>、= " 號，還有改變運算順序的小括弧[]、中括弧[ ]、大括弧{ }等等，這些符號都講究上下左右對稱，如果書寫時不注意它們的對稱性，錯寫漏寫都破壞了它們之間的內在美。

構圖美和組合美

幾何初步知識是國小數學的一項重要內容，它包括直線、線段、射線、角、長方形、正方形、圓、平行四邊形、梯形、長方體、正方體、球的認識和畫法等，這些圖形，無論他們的簡單和複雜程度如何，都各自具有獨特的美。例如：直線表現剛勁有力，曲線表現輕快流暢，三角形寓有變化之美，等腰三角形、等腰梯形、長方形、圓等幾何形體的對稱美，正方形的平穩方正等等，教師可在教學中利用教材提供的各種圖形，引導學生在認識和掌握各種圖形的過程中，體驗他們的優美，達到美的感受。並且可以利用圖形之間的關係或者一些有趣的規律，發揮學生的想像力，讓他們用各種圖形拼組成自己喜歡的事物，體會數學的組合美。

數學知識中的對稱美

數學知識中的對稱主要有軸對稱美，如等腰三角形、矩形；中心對稱美，如平行四邊形、圓等；形式上對稱美，如正（+）與負（-）、加法與減法、乘法與除法、正比與反比等。在教學中可以密切聯繫生活實際，聯繫生物體結構，如衣服、褲子、人體是軸對稱的，揭示對稱美，給學生領會對稱美的價值，通過實例加深學生對數學對稱美觀念的理解，深化思維，培養學生感受美、鑑賞美的能力。

方法美

自然數的個數是無限的：1、2、3、4、……奇數的個數是無限的1、3、5……人們採用“一一對應’的數學方法：神奇地發現自然數列與奇數列還有如下關係：1、2、3、4、……把一個圓形，分割成8份、16份、32份，相等的近似的三角形拼擺後，圓形神奇地轉化成近似的長方形，所分的份數越多，所拼得圖形越接近於長方形。曲與直的這種轉化，在生活中可以找到它的活生生的典型”砌牆用的一塊塊方磚面是長方形，可以砌成橫斷面是圓形的煙囪；把用方磚砌成的橫斷面是圓形的煙囪拆開，又可以得到一塊塊的面是長方形的方磚。

思想美

數學知識中隱含有豐富的思想品德教育素材，國小數學教材中編寫了許多小故事，如"除號的由來"、"等號的由來"等；我國數學家陳景潤身居陋室，但為了攻破歌德巴赫猜想這一世界數學難題，不斷演算，通過努力終於摘取了數學皇冠上的明珠；數學家華羅庚中學時期的數學成績並不好，也沒有考取大學，但通過自己的自學，成為我國赫赫有名的數學家，並邀請到國外講學，溘然長逝在異國講壇上。數學家們高尚的思想品德，深厚的愛國熱情，非凡的智慧才能，都是教育我們學生的好素材，激發學生對數學的熱愛和追求，培養克服困難、奮發向上的精神，培養學生的遠大志向。

知識的奇異美

奇異性是數學內涵美的又一基本內容。它是指所得的結果新穎奇特，出人意料。七巧板拼圖是國小數學課常採用的內容。用七塊板可以拼成一個最簡單的正方形，也可以拼出千變萬化的複雜圖案：如人形、鳥獸、花草、房屋等。通過七巧板拼圖練習，學生感到圖案之多，出人意料；圖形之美，妙趣橫生。

有趣的數學知識，不僅能讓學生感受到不同的美，而且利用數學的奇妙還能裝扮人們的生活。比如：搞服裝設計，如果擁有黃金分割的知識，就會感覺自己的設計很舒服。巴赫的音樂中充斥著數學的對稱美，埃及的金字塔在建築線條上凝聚了多少形象的數學……真可謂哪裡有數學，哪裡就有美。

數學之美[數學中讓人愉悅的東西]

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