數學模型
在控制系統的分析設計中，首先要建立控制系統的數學模型，數學模型是描述系統內部物理量（或變數）之間的關係的數學表達式。建立控制系統數學模型的方法通常有分析法和實驗法兩種。
（1）分析法
需要已知系統各部分依據的物理規律或化學規律列出相應方程。
（2）實驗法
實驗法人為地給系統施加某種測試信號，記錄其輸出回響，並用適當的數學模型去逼近，這種方式又稱為系統辨識。
在使用分析法進行系統建模時，常見的模型有時域模型、復域模型。
時域模型
使用微分方程描述的系統模型稱為時域模型。在給定外作用及初始條件下，求解微分方程可以獲得系統的輸出回響。這種方法比較直觀，有助於藉助計算機迅速求得結果。但如果系統結構改變或某幾個參數改變時，就要重新列方程求解，不便於系統分析和設計。
復域模型
使用拉氏變換法求解線性系統的微分方程時，可以得到控制系統在複數域的數學模型：傳遞函式。傳遞函式不僅可以表征系統的動態性能，而且可以用來研究系統結構或參數變化對系統性能的影響。
控制性能
控制性能
控制性能傳遞函式定義：線性定常系統的傳遞函式 ，定義為零初始條件下，系統輸出量的拉氏變換 ，與輸入量的拉氏變換 之比。
控制性能傳遞函式的性質
（1）傳遞函式是復變數s的有理真分式函式，具有複變函數的所有性質。
（2）傳遞函式是一種用系統參數表示輸入量與輸出量之間關係的表達式，只取決於系統或元件的結構和參數，而與輸入量的形式無關。
（3）傳遞函式與微分方程有相通性，兩者（兩個類型的系統模型）可以用d/dt與s互相置換的方式變換。
控制性能
控制性能
控制性能（4） 的拉氏反變換是脈衝回響 ，即脈衝函式 輸入時的輸出回響。
性能指標
控制系統性能評價分為動態性能指標和穩態性能指標兩類。為了求解系統的時間回響(我們關注的性質)。必須了解輸入信號（即外作用）的解析表達式。然而在一般情況下，外加輸入有隨機性無法預知。
典型輸入信號
研究分析系統的性能指標時，通常選擇若干典型輸入信號作為動態性能指標和穩態性能測試之用，典型輸入信號包括：
•單位階躍函式
•單位斜坡函式
•單位加速度函式
•單位脈衝函式
•正弦函式
實際中採用上述哪種典型輸入信號取決於系統常見的工作狀態。同時，在所有可能的輸入信號中，選擇最不利的信號作為典型輸入信號測試系統指標。在典型輸入信號作用下，任何控制系統的時間回響都有動態過程和穩態過程兩部分組成。因此，系統的時間回響、動態、穩態過程與動態、穩態性能指標以及典型輸入信號的關係如圖1所示。
圖1動態指標
（1）動態過程
動態過程又稱過渡過程或瞬態過程，指系統在典型輸入信號作用下，系統輸出量從初始狀態到最終狀態的回響過程。由於實際控制系統具有慣性、摩擦及其他原因，系統輸出量不可能完全復現輸入量的變化。根據系統結構和參數的選擇，動態過程表現為衰減、發散、等幅振盪等形式。
（2）動態性能
系統的動態過程提供系統穩定性、回響速度及阻尼情況，由動態性能指標描述。通常在階躍函式作用下，測定或計算系統的動態性能。描述穩定的系統在單位階躍函式的作用下，動態過程隨時間t的變化狀況的指標，稱為動態性能指標。系統的單位階躍回響如圖2所示。
圖2 系統的單位階躍響上升時間（rise time）t
控制性能
控制性能
控制性能指回響從終值 上升到終值 所需的時間；對於有振盪的系統，也可定義為回響從零第一次上升到終值所需的時間。上升時間 是系統回響速度的一種度量。上升時間越短，回響速度越快。
峰值時間t
控制性能指回響超過其終值達到第一個峰值所需的時間。上升時間是系統回響速度的一種度量。
調節時間（settingtime）t
控制性能
控制性能
控制性能指回響到達並保持在終值(或)內所需的最短時間。調節時間是評價系統回響速度和阻尼程度的綜合指標。
超調量（overshoot）：σ%
控制性能
控制性能指回響的最大偏離量與終值之比的百分數，即
控制性能
控制性能
控制性能若，則回響無超調。評價系統的阻尼程度。
穩態指標
（1）穩態過程
穩態過程指系統在典型輸入信號作用下，當時間t趨於無窮時，系統輸出量的表現方式。穩態過程又稱為穩態回響，表征系統輸出量最終復現輸入量的程度，提供系統有關穩態誤差的信息，用穩態性能描述。
（2）穩態性能——穩態誤差（steady-state error）
穩態誤差是描述系統穩態性能的一種性能指標，通常在階躍函式、斜坡函式或加速度函式作用下進行測定或計算。若時間區域無窮時，系統的輸出量不等於輸入量或者輸入量的確定函式，則系統存在穩態誤差。穩態誤差是系統控制精度或抗擾動能力的一種度量。
