奇偶位差法

奇偶位差法

奇偶位差法定理:奇偶位差法就是奇數位與偶數位的差是11的整數倍的自然數可以被11整除。

套用

合併圖冊 合併圖冊

例:(1)4398

4+9=13

3+8=11

13-11=2

4398不可以被11整除

(2)1837

1+3=4

8+7=15

15-4=11

1837可以被11整除

(3)48321

8+2=10

4+3+1=8

10-8=2

48321不可以被11整除

解釋

考慮一個數與11相乘

令x=abcde*11 分析x的特徵

abcde

* 11 ......(1)

= abcde

abcde

=a(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)e

若各位相加都沒進位 則奇數位和-偶數位和=0

若只有d+e有進位 a(a+b)(b+c)(c+d+1)(d+e-10)e

很明顯此時 奇數位和-偶數位和=11

若只有c+d有進位 a(a+b)(b+c+1)(c+d-10)(d+e)e

很明顯此時 奇數位和-偶數位和=-11

繼續推下去可知

對於1式的乘法,當奇數位有進位而與他相鄰的高位沒有進位時 此時 奇數位和-偶數位和=-11

當偶數位有進位而與他相鄰的高位沒有進位時 此時 乘積結果的奇數位和-偶數位和=11

若奇數位和偶數數都有進位,那么所得乘積結果的奇數位和-偶數位和(各位數字相加)就取決於是奇數位和(乘法相加時)進位的多還是偶數位和進位的多

也就是說能被11整除的數總有這么一個特徵,他的奇數位和-偶數位和(各位數字相加)是11或-11的正整數倍,或者是0,也就是能被11整除

反過來,1個具備這樣特徵的數(目標數)是否一定能被11整除,下面給予證明 要通過一個目標數找到原數(目標數/11)

假設目標數為abcde 若奇數位和-偶數位和(各位數字相加)是11或-11的正整數倍或0

比較原數的某位與目標數的鄰高位 很明顯原數的最低位一定是目標數的最低位

比如 9856 , 原數一定是***6 先比較5和6

對於最低位,若次低位(目標數)>最低位(原數)

則可知原數次低位是目標數次低位-最低位(原數)

若次低位<最低位

則可知原數次低位是目標數次低位+10-最低位(原數)

然後比較原數的次次低位與目標數次低位

這樣依次下去,就會找到原數

也就是說滿足這樣一個條件的數,經過一定步驟的運算,就能找到它被11除的數

因此,奇位上的數字與偶位上的數字分別加起來,再求它們的差,如果這個差是11的倍數(包括0)就可以推出這個數能被11整除.

相關詞條

熱門詞條

聯絡我們