2015 年1月技術總結
——貝葉斯信用評估模型
研究院公用事業部 路璐
序言
通過對信用評級流程，框架，基本要素及打分卡的研究，提出本文觀點：信用風險分析的本質是處理不確定性，而關鍵是貝葉斯統計決策方法的運用。
信用風險度量主要包括以下步驟: 一是明確影響信用風險的主要因素; 二是獲取影響因素的數據信息及變數的動態特徵; 三是構建和選擇模型度量風險, 在此過程中, 機率論和統計方法的套用不可或缺。
目前國際上，信用風險度量方法不僅考察了違約機率的測度,而且探討了信用等級轉移矩陣的選擇和比較。中國大公評級原理通過對偏離度的測量，確定債務信用風險級別，從已有文獻中,可以發現在信用風險度量中的三個主要問題:第一,在變數選擇和模型設定時都面臨經驗數據缺乏的問題;第二,無論是偏離度度量，還是違約機率度量,信用評級時都大量使用了專家意見或經驗判斷;第三,模型預測和比較都需要處理不確定性問題。貝葉斯方法提供了一種有效的風險預測手段，能夠將主觀估計與客觀估計結合起來，並能隨著資料的不斷增加而不斷進行預測，使得預測更加精確，它能夠科學的使用專家意見等主觀信息,在處理不確定性問題上具有一定的優勢,已較為廣泛的套用於信用風險度量領域。
信用評級發展歷史
1909 年, 著名評級公司穆迪的創始人在《鐵路投資分析年刊》中首次提出信用評級的概念, 至今信用風險度量己走過100年的歷程。結構模型和強度模型是傳統信用風險度量模型的兩種主要形式,前者利用資產負債的變數關係描述違約,後者利用特徵參數強度描述違約事件。
1970年提出通過更新技術修正後驗機率預測信用風險，為後期貝葉斯多期動態模型的發展奠定了基礎。再此之前，線性判別模型是度量信用風險的主要方法,通過賦予不同的指標權重綜合評分判斷信用等級，線性判別模型中的重要假定是不同等級的方差協方差矩陣相同, 且評分數據服從常態分配, 但這些假定過於嚴格，這種線性判別模型就是目前普遍用到的打分卡模型的前身。
貝葉斯信用風險度量模型與傳統模型並不相同,在模型中既可以考慮資產價值的變動也可以涉及偏離距離變數, 具有更強的適應性和靈活性。
貝葉斯方法
傳統的風險分析往往是預測各種事件可能發生的先驗機率, 或者是根據歷史資料的客觀機率, 或者是採取專家的經驗值(即主觀機率)。然而, 設定先驗分布是件困難的事情。因為許多決策問題的先驗信息不夠充分, 而先驗分布又往往只能憑決策人所獲得的先驗信息對狀態發生的機率作出主觀估計, 因此設定的先驗分布很難準確地反映客觀真實情況。而貝葉斯推斷則首先確定事件自然狀態的先驗機率, 然後根據先驗機率進行初步決策。隨著主體的運行成長, 不斷的通過科學試驗、調查、統計分析等分方法獲得較為準確的補充信息, 根據這些補充信息, 重新修正對原有事件機率分布的估計。經過多次修正以後, 對事件的機率分布估計會越來越準確, 越來越符合實際情況。
一般, 通過試驗並不能直接觀察狀態變數θ的值。只能觀察到與θ有關的另外一個隨機變數X的值。對於給定的θ, X的條件密度函式記作f(Xθ)。當似然函式f(Xθ)為已知時,可由損失函式L(θ,δ)求得風險函式R(θ,δ)的值。對於給定的先驗密度f(θ), 又可由風險函式R(θ,δ)求得貝葉斯風險r(θ,δ)的值。貝葉斯分析是決策分析中的一種主要方法, 它是選擇決策規則δ使貝葉斯風險最小。因此, 使用貝葉斯分析必須假設有先驗密度和損失函式,而且人們能設定它們的值。
由此可見,貝葉斯方法具有如下優點:
1.對調查結果的可能性加以數量化的評價,而不像其他方法,對調查結果完全相信,或完全不相信。
2.由於任何調查結果都不可能是完全準確的,先驗機率也不是完全可以相信的,而貝葉斯方法巧妙將這兩種信息有機地結合起來。
3.它可以在風險分析中根據具體情況不斷使用,使得風險分析逐步帖近實際,更加準確。
貝葉斯方法基本原理
貝葉斯估計
設θˋ是θ的估計量,由於θˋ與θ或多或少會有一些距離, 因而可以定義一個非負的二元函式L(θ,θˋ),稱為在用θˋ估計θ時的損失函式,通常最常用的是二次損失函式:
L(θ, θˋ)= (1)
顯然L(θ,θˋ)越小,表明θ估計越好,但是這裡θ和θˋ(x1, x2,…,xn)都是隨機變數, 因此這裡所希望的“小”只能代表機率的意義。
由機率論可知, 樣本與參數的聯合分布密度函式為:
g(x1 , x2 , … , xn, θ)=g(x1 , x2 , …, xn θ)h(θ) (2)
則有:對於θ的一個估計值θˋ=θ ˋ(x1 , x2 , …, xn),
R(θˋ)= ∫Θ∫ΨL(θ, θˋ(x1 , x2 , …, xn))· g(x1 , x2 , …, xn|θ)h(θ)dx1dx2 …dxndθ (3)
這裡Θ為參數空間, Ψ為樣本空間, R(θˋ)稱為估計量θˋ的貝葉斯風險,並稱R(θ0 ˋ)為使貝葉斯風險達到最小的估計θˋ,
即R(θ 0ˋ)=minR(θˋ) (4)
為θ的貝葉斯估計。
為求得貝葉斯估計,將(3)式兩邊關於θˋ求導,並令其結果等於零,經整理計算得到θ的貝葉斯估計為:
θ 0 ˋ(x)= ∫ Θθh(θ|x)dθ (5)
其中:
h(θ|x) =h(θ|x1 , x2 , …, xn) =
h(θ|x)稱為θ的後驗機率密度。由此可知, 估計值θˋ與實際值θ之間的差距將隨著後驗機率不斷調整,如果能不斷的補充信息,不斷的調整後驗機率,則估計值將逐步接近實際值。對於風險分析而言, 即對風險的估計將越來越準確。
貝葉斯估計推廣
假設f(x)為隨機變數的常態分配密度函式,μ為x的均值。x1 , x2 , … , xn是x的n個隨機樣本,具有已知的精度r(r=1 /), x為樣本均值。按照貝葉斯原理,如果x為隨機變數, 則x的均值μ也是隨機變數。假設μ的先驗分布是一個常態分配,具有已知的均值μ′和精度t′, 則μ的後驗分布也是一個常態分配,其均值μ″和精度t″分別為:
μ″= (6)
t″=t′+nr (7)
式中,
由式(6)和式(7)可以知道,後驗均值μ″是先驗均值μ′和樣本均值x的一個加權平均, 而其權重正是各種精度t′和nr,而且當樣本規模n較大時,樣本精度r較大(樣本標準差較小)時, nr也較大,從而使樣本均值有較大的權。μ的後驗分布的表達式(7)特別簡單,隨著觀測次數n的增大正比於樣本精度r而增加,而與x1無關。因而,隨著觀測次數的增加,μ的後驗分布越來越集中於後驗均值的周圍,而其均值將取決於觀測值xi。
貝葉斯信用評估模型
項目評級中，會有眾多決定因素和因子，如俄羅斯天然氣工業公司風險管理系統有500多因子，大公評級原理把確定償債能力的眾多因素分在償債環境，財富創造能力，償債來源三大要素里，並且提出了偏離度的定義，綜合衡量和調節償債能力。這些因素和因子會隨著時間和形勢發展不斷變化，直接影響評級結果，如俄羅斯天然氣工業公司可以提供給分析師的是截止到半年前的財務資料和報表，對評級工作產生很大的約束和限制。用貝葉斯方法將大公評級原理的三大要素放在同一測算平台進行評估。評估過程將分別對三大要素進行分析：償債環境如何；財富創造能力是多大；償債來源是多少，除此之外，還要計算偏離度，以便衡量償債能力，再據此進行預測、決策與控制，從而提前預警主體的債務風險。
下面以分析償債來源的子項初級償債來源為例進行說明。用一定時期(以月為例)預計實現初級償債來源構成序列,考察每月預計初級償債來源的情況,建立數學模型推出初級償債來源的機率分布。由於每月的初級償債來源xi要受到盈利、經常性收入、債務收入、可變現資產、外部支持、外匯收入、貨幣發行等很多方面的影響, 所以它是一個隨機變數。假設xi是具有均勻分布的隨機變數,則其和x1+x2 +…+xn的極限分布將是一個常態分配,其均值為μ,方差為。然後根據數據確定其參數,從而得出每單位時期的初級償債來源的估計。
分析步驟如下:
(1)採集樣本。收集以往資料, 計算樣本均值, 樣本方差, r=1 /。
(2)確定先驗機率分布參數。評級分析師根據其經驗和所掌握的信息,判斷每月的初級償債來源為多少。然後將所得估算值進行平均,並計算其誤差範圍,這樣就可得到先驗機率分布參數μ′和精度t′。
(3)進行後驗機率分布推斷。利用樣本信息和先驗機率信息, 進行貝葉斯推斷。根據式(6)和式(7),計算的初級償債來源的後驗均值μ″和精度t″。
(4)給定置信度λ,P=1-λ, 查常態分配表,UP =C,則初級償債來源均值μ的區間估計為[μ″-C*S,μ″+C*S] 。
(5)繼續補充新信息,或調整先驗信息,或增加新的樣本,套用上述模型,信息越多、樣本越大,均值的估計就越準確。
貝葉斯方法在評級項目中的套用
求某企業初級償債來源，已知前9月企業初級償債來源如圖1所示。同時7名分析師對初級償債來源進行估算，其評估結果如表2所示。
表1 前9月企業初級償債來源的情況（滿為100）
| 日期(月) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 初級償債來源 | 49 | 47 | 53 | 45 | 57 | 60 | 52 | 54 | 49 |
表2 分析師估算企業初級償債來源的情況（滿為100）
| 專家 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 評估值 | 55 | 57 | 52 | 59 | 58 | 54 | 60 |
(1)根據所得樣本, 可算出:
樣本均值 =51.778，
樣本方差=23.194, S樣=4.816，
樣本精度r=1 /樣 =0.0043。
(2)計算先驗參數:
均值 =56.43，
方差=8.286
精度t=0.12。
(3)進行後驗機率分布推斷：
初級償債來源的後驗均值
μ″= ==52.879
初級償債來源的精度 t″=t′+nr=0.507
初級償債來源的方差 =1/t″=1.97
(4) 令置信度λ=0.05, P=1-λ=0.95,查常態分配表,UP =C=1.96, 則初級償債來源的均值μ的置信區間為:
μ″-C*S樣≤ μ≤ μ″+C*S樣
52.879 -1.96*4.816 ≤ μ≤ 52.879 +1.96*4.816
43.44 ≤ μ≤ 62.32
即: 初級償債來源落入[ 43.44, 62.32]的機率為95%。
(5)若又得到以往類似企業的初級償債來源的資料如表3所示:
表3 分析師估算企業初級償債來源的情況（滿為100）
| 專家 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 評估值 | 53 | 52 | 56 | 61 | 57 | 59 |
進一步修正有關參數, 原有的後驗機率分布參數變為先驗分布參數, 再綜合新收集到的樣本信息進行後驗機率推斷。
此時, 先驗機率分布參數為:均值μ′=52.879, 精度t′=0.507
樣本有關參數為:
樣本均值 =56.33，
樣本方差=11.867, S樣=3.44，
樣本精度r=1 /樣 =0.084。
重新進行後驗分布推斷:
後驗均值μ″==54.6
後驗精度t″=t′+nr=1.011
後驗方差δ2 =1/t″=0.99
給定置信度λ=0.05, 則初級償債來源的均值μ的置信區間為: μ∈ [47.86, 61.34]。
可以看出, 增加了新信息後, 初級償債來源的置信區間比以前更集中了。
初級償債來源分析是測算償債能力的環節之一。償債環境、償債來源和財富創造能力三大要素都可以按此方法進行測算。由於三大要素髮生的動態性，分析應不斷進行，不斷將當期出現的新信息補充到分析中去，以使得分析結果更貼近實際，反應企業狀況。
貝葉斯專家評估系統
在評級領域裡，標準普爾開發的智慧型專家評估系統命名為S&PCBRS，其主要任務是對公司發行的證券進行評級；建立正確的評級標準。該專家系統具有以下特徵：評級中的課題分類；神經分類機的學習和測驗；專家分數的比較；運用神經網路Couter-Propagation詞形變化。標普的專家評估系統準確率高達84%。
由於貝葉斯原理，方法和模型的複雜性局限了評級工作，從而設計了貝葉斯專家評估系統，以便分析師廣泛套用。貝葉斯專家評估系統是一種在特定領域內具有專家水平解決問題能力的程式系統。它能夠有效地運用專家多年積累的有效經驗和專門知識，通過模擬專家的思維過程，解決需要專家才能解決的問題。貝葉斯專家評估系統可以在信息不全的情況下，對部分未知的狀態用主觀機率估計，然後用貝葉斯公式對發生機率進行修正，最後再利用期望值和修正機率做出最優決策。系統解決了分析工作量大，主觀性強，實施效果不穩定問題，提高風險分析師決策的效率，實現風險評估自動化，為科學使用專家意見主觀經驗提供了有效途徑。
本評估系統的基本工作流程是，分析師通過人機界面回答系統的提問，推理機將分析師輸入的信息與知識庫中各個規則的條件進行匹配，並把被匹配規則的結論存放到綜合資料庫中。最後，評級系統將得出最終結論呈現給分析師。
貝葉斯決策理論方法是統計模型決策中的一個基本方法，其基本思想是：
已知類條件機率密度參數表達式和先驗機率；
利用貝葉斯公式轉換成後驗機率；
根據後驗機率大小進行決策分類。
1.已知類條件機率密度參數表達式和先驗機率；
2.利用貝葉斯公式轉換成後驗機率；
3.根據後驗機率大小進行決策分類。
貝葉斯專家評估系統的函式基礎是：
系統知識庫建模: M=<H,S,G,P,VH,VS>
其中 H={H1,....Hn}-假設集合;
S= {S1,....Sm}-狀態集合;
G=G(X,U,P+,P-) –加權二部圖的頂點 X=(H, S), 圓弧 U ， 圓弧機率為 P+ и P-;
圓弧U(Si,Hj)–表示狀態集合 Si和假設集合 Hj,的關係，遵循«如果 Si, 就Hj»;
圓弧 U(Si,Hj)在知識庫機率為P+ij=P(Si|Hj)–當假設Hj正確，那么機率表現為Si ;
P-ij=P(Si|Hj)–當假設Hj錯誤，那么症狀為Si;
P={P1,....Pn} –實驗機率假設;
VH和VS -用自然語言描述假設和狀態.
所有機率區間在[0,1]。
評估作業系統的函式關係是：
P(Hj| Si)=Pj*P+ij/(Pj*P+ij+(1-Pj)*P-ij),
P(Hj| Si)=Pj*(1- P+ij)/(1-Pij+Pj*(P-ij-P+ij)),
Csi=∑|P(Hj|Si)-P(Hj|!Si) |,其中Csi–是狀態Si的量值；
Ii–相對於狀態Si的排序。
評估系統由人機互動界面、知識庫、推理機、解釋器、綜合資料庫、知識獲取等6個部分構成。綜合資料庫包含求解問題的世界範圍內的事實和斷言。知識庫包含所有用“如果：〈前提〉，於是：〈結果〉”形式表達的知識規則。推理機的任務是運用控制策略找到可以套用的規則。這些部分建立了支持評級流程的自動系統。
建立評估系統得系統靜態結構，系統動態結構，以及工藝開發流程。
評估系統靜態結構圖，如下：
評估系統動態結構圖，如下：
評估系統工藝開發圖，如下：
評估系統人機交流的操作平台的開發設計。
知識庫編寫視窗，如下：
導入知識庫視窗，如下：
評估過程視窗，如下：
結論視窗，如下：
結論導出視窗，如下：
貝葉斯專家評估系統應具備以下功能：
⑴ 存儲解題所需的知識。
⑵ 儲初始數據和推理過程中涉及的各種信息。
⑶ 據輸入的數據，利用已有的知識，按照一定的推理策略，解決當前的問題，並能控制和協調整個系統。
⑷ 夠對推理過程、結論和系統自身的行為做出必要的解釋，便於分析師的理解和接受。
⑸ 供機器獲取知識的路徑，可以修改、擴充和完善知識庫。
⑹ 供分析師接口，理解並滿足分析師的各種要求。
關於貝葉斯專家評估系統的具體操作和套用，將在日後有機會時解釋。
結語
分析了貝葉斯理論,基於貝葉斯方法構建評估模型,並根據先驗機率或者專家經驗,實現對未知因素的量化計算。同時,進行了實際案例推算,計算結果可供分析師進行參考。隨著添加的歷史信息的增多與經驗的累積,估算越接近實際值,這樣能讓分析師在評估時減少失誤和降低損失。從分析的結果可發現,本方法可按大公評級原理測算影響償債能力的三大要素,從而實現對主體的評級。
公用事業部
二〇一五年一月十五日
