塞爾伯格篩法

塞爾伯格篩法(Selberg sieve)是塞爾伯格(Selberg,Atle,1917.6.14-)提出的在數論中有廣泛套用的一個初等方法，篩法的基本問題是估計篩函式S(A;P，z)的上界和正的下界。

基本介紹

塞爾伯格篩法

塞爾伯格篩法是在數論中有廣泛套用的一個初等方法。設A是由有限個整數組成的集合(元素可以重複)，P是由無限個素數組成的集合(元素不能重複)，以 表示所有不屬於P的素數組成的集合，再設z≥2是任意實數，並令

塞爾伯格篩法

函式

塞爾伯格篩法

稱為 篩函式，它表示集合A中沒有小於z且屬於P的素因子的元素的個數，亦即表示從集合A中篩去所有小於z且屬於P的素因子的元素後所剩下的元素的個數.篩函式有下述性質 ：

1.S(A;P，2)=|A| (|A|表示A中元素個數)；

2.S(A;P，z)≥0；

3.S(A;P，z)≥S(A;P，z)，2≤z≤z；

4.對任意的2≤ω≤z，有

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其更重要的性質是：

塞爾伯格篩法

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其中μ(d)為默比烏斯函式，A表示A中所有能被d所整除的元素所組成的子集，並且篩函式S(A;P，z)的估計與集合A，d|P(z)有密切的關係。對於集合A及P，適當選取正數X>1及一個非負可乘函式ω(d)，μ(d)≠0， ，並設

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塞爾伯格篩法

及ω(d)滿足條件：0<ω(p)/p≤1- ， ，其中L為大於1的常數。再設ξ≥2，λ，d|P(z)是滿足λ=1，λ=0(d≥ξ)的任意一組實數，於是有

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其中

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把X∑稱為主項，∑稱為餘項，由於當d≥ξ時λ=0，所以餘項∑的項數不超過ξ²，這樣，通過對參數ξ的選擇就可控制餘項的階，使其低於主項的階而可以略去。同時還可選擇一組滿足所述條件的λ，使∑最小而得到一個儘可能好的上界估計，這就是塞爾伯格的篩法。篩法的基本問題是估計篩函式S(A;P，z)的上界和正的下界。

相關介紹

篩法源於古希臘的埃拉托斯特尼(Eratosthenes)，後經多次改進才形成今天的篩法。1950年，塞爾伯格(A.Selberg)在其論文“等差數列的初等證明”(參見“塞爾伯格漸近公式”)中利用求二次型極值的方法對埃拉托斯特尼篩法作了重大改進，由他的篩法可得到篩函式上界的估計，若與布赫什塔布恆等式相結合就可得到篩函式的下界估計，塞爾伯格篩法的重要套用如：1956年，王元套用它證明了(3+4)；維諾格拉多夫(И.М.Виноградов)證明了(2+3)；塞爾伯格證明了區間(A，A+N)中素數個數不超過2N/ln N+O(N ln ln Nln N)，其中，O中常數與A無關；對固定常數0<δ<1，則證明了在算術級數kn+l(n=1，2，…)中不超過x的素數個數不大於

2x(φ(k)ln x/k) +O(x ln ln x ln x).

目前許多好結果，幾乎都是利用加權形式的塞爾伯格篩法得到的 。

塞爾伯格(Selberg,Atle,1917.6.14-)是挪威一美國數學家。挪威科學院及美國科學藝術研究院院士。 他第一次用初等方法證明了素數分布定理，提出了後以他名字命名的塞爾伯格篩法。由於他在數論研究上的傑出貢獻，而榮獲1950年菲爾茲獎。塞爾伯格的研究領域廣泛，並不斷開拓新的研究方向。在二十世紀的數學史上以他的名字命名的還有塞爾伯格等式，塞爾伯格不等式，塞爾伯格漸近公式，塞爾伯格猜想，塞爾伯格函式等等 。