基本介紹
垂極點曾被紐堡(Neuberg)，松恩(Soons)，蓋拉特雷(Gallatly)等人廣泛研究，最後由蓋拉特雷集其大成。
定理 設由一個三角形的各個頂點向任一條直線作垂線，則由其垂足向對邊所作垂線必交於一點，稱為這條直線的 垂極點。當直線平行移動時，垂極點的軌跡是與它垂直的直線。與外接圓相交的直線，垂極點是交點的西摩松線的交點。換句話說。一點的西摩松線是過這點的各條直線的垂極點的軌跡。如果一條直線通過外心，那么它的垂極點在九點圓上。
設一條直線交外接圓於P，Q，由三角形的頂點作這條線的垂線，每條垂線與外接圓還有一個交點，從這些交點向對邊作垂線，則這些垂線相交於外接圓上一點R。由PQ上的三個垂足向對邊作垂線，這些垂線相交於垂極點S。而P，Q，R的西摩松線也都通過S，S是直線PQ，PR，QR中任一個的垂極點。
一條直線的垂極點，關於這條線上所有點的垂足圓，有相同的冪 。
相關研究及結論
垂極點
垂極點
垂極點
垂極點
垂極點
垂極點
垂極點
垂極點
垂極點❶設 為 到一條方向角為 的直線 的垂線 的長。作 垂直於 垂直於 垂直於 。這三條直線必定共點。
因為
垂極點且
垂極點所以
垂極點
垂極點因此 共點。
垂極點這公共點記為S，紐堡(J.Neuberg)教授將它稱為 的 垂極點 。
圖1原註：垂極點的定理幾乎全屬於J.Neuberg教授。
垂極點
垂極點
垂極點設 為 到TT' 的垂線 的長。
垂極點
垂極點取一特殊情況，以 表示TT' 與 的邊所成的銳角。我們有
垂極點
垂極點
垂極點又因為 垂直於
垂極點
垂極點
垂極點同樣因為 垂直於
垂極點所以
垂極點
垂極點當TT' 平行移動時，圖形 的形狀與大小均保持不變。
❷ 用幾何方法確定垂極點。
垂極點 垂極點
垂極點
垂極點設 再交圓 於R，作弦 垂直於 。
垂極點
垂極點設 交TT' 於 ，則
垂極點
垂極點
垂極點( 即 )
同樣
垂極點所以
垂極點
垂極點
垂極點因此作 平行於 ，便得到S。
垂極點當TT' 平行移動時，S沿TT' 的垂線 移動。
垂極點平行於AR，是R''的西摩松線。
❸確定S對於ABC的n.c.。
垂極點
垂極點因為 在 上的射影=
垂極點所以
垂極點
垂極點
垂極點將上式右邊第一項乘以 ，其他項乘以 ，得
垂極點
垂極點又
垂極點所以
垂極點將上式右邊的兩個因式相乘，並利用
垂極點得
垂極點
垂極點
垂極點
垂極點TT' 的方程為 ，在它通過圓心 時，有 ，此時
垂極點
圖2
垂極點
垂極點
垂極點❹設 為與TT' 平行的直徑，則 的垂極點 在九點圓上。
垂極點
垂極點證明：令H為ABC的垂心，因為 ，所以 。
又
垂極點所以
垂極點但
垂極點
垂極點所以
垂極點 垂極點
垂極點因此是的中點，從而在九點圓上。
垂極點❺圓ABC的任一弦TT'的端點的西摩松線，過TT'的垂極點。
❻ 萊莫恩定理：
垂極點
垂極點若是直線TT'上一點，TT'的垂極點為S，則S關於P的垂足圓的冪為常數。
垂極點
垂極點
垂極點
垂極點
垂極點 垂極點作平行於，圓位似，作平行於垂直於。
圖3 垂極點 垂極點 垂極點❼在TT'為外接圓直徑時，d為0，這時垂足三角形都過的垂極點。
垂極點
垂極點
垂極點
垂極點因為在這時，。位似圖形的比是1：2，所以變為。
垂極點
垂極點 垂極點因此與在上相交 。
