功效函式

功效函式

功效函式又稱之為勢函式,是機率論和數理統計學的一個名詞,是為了在假設檢驗中分析兩類錯誤的機率而引入的概念。

引入

在進行假設檢時,我們要確立原假設和備擇假設,為了選擇哪種假設,我們規定了拒絕域。如果樣本落在拒絕域內,我們拒絕原假設,接受備擇假設,否則接受原假設。這樣我們在套用某種檢驗做判斷時,可能會犯如下兩種錯誤:原假設是對的,我們卻拒絕了原假設,這稱為第一類錯誤;相反,原假設是錯的,我們卻接受了原假設,這稱為第二類錯誤。 在檢驗中我們希望犯兩類錯誤的機率都儘可能地小,但實際上我們做不到這一點,為了說明原因,我們需要引進功效函式這一概念。

定義

功效函式 功效函式
功效函式 功效函式

設某檢驗問題的拒絕域為 W,則樣本觀測值 X落在拒絕域 W內的機率稱為該檢驗的功效函式,記為,為原假設和備擇假設中的參數。

性質

功效函式 功效函式
功效函式 功效函式

當原假設成立時,犯第一類錯誤的機率就等於。當備擇假設成立時,犯第二類錯誤的機率就等於。

下面我們通過一個例子來說明我們無法使一個檢驗犯第一類、第二類錯誤的機率同時減少。

功效函式 功效函式
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功效函式 功效函式
功效函式 功效函式
功效函式 功效函式
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某廠生產的合金強度服從常態分配,其中的設計值為不低於110。為保證質量,該廠每天都要對生產情況做例行檢查,以判斷生產是否正常進行,即該合金的平均強度不低於110。某天從生產的產品中隨機抽取25塊合金,測得其強度值為,均值為,問當日生產是否正常。

功效函式 功效函式

對於本例,其拒絕域為

勢函式 勢函式
功效函式 功效函式
功效函式 功效函式
功效函式 功效函式

注意到這個功效函式是的減函式,如右圖利用這個功效函式易得犯兩類錯誤的機率分別為(原假設成立),(備擇假設成立)。

由此可以得出犯兩類錯誤的機率之間的關係:

1、當第一類錯誤的機率減少時, c隨之減小,而 c的減小必導致犯第二類錯誤的機率增大。

2、當第二類錯誤的機率減少時, c隨之增大,而 c的增大必導致犯第一類錯誤的機率增大。

這一現象說明:兩類錯誤的一個減小必導致另一個的增大。

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