偽解

偽解，又稱增解或額外解，英語：extraneous solution、SpuriousSolution，是在解方程的過程中產生的能滿足方程的簡化版本，但不滿足原始方程的解。它常因變數出現在有理式分母、對數、偶次方根的被開方數中而產生。
示例：
因平方而引入：
解方程：x-6=√x，=> (x-6)^2=x =>x^2-13x+36=0 => (x-4)(x-9)=0 =>x=4,x=9
將x=4代入原方程，得-2=2，可知4是偽解。
因乘以含變數的因子而引入：
解方程x=2=0 => x(x+2)=x*0=0 =>x=0,x=2
0是偽解。
因消去有理式分母而引入：
解方程：=> x+2=3(x-2)-6x =>x=-2
-2使得分母為0，故-2是偽解
因消去對數而引入：
解方程：ln(2x)=ln(x) => 2x=x =>x=0
ln(0)未定義，故0是偽解
再舉個例子：
解方程：x^x^x....=a
方程左邊是無窮級數：f(0,x)=x,...,f(n+1,x)=x^f(n,x),...
要解此方程，需要假設f(n->∞,x)收斂於a（很明顯，對絕大多數數x，此假設都是不成立的），將此假設代入方程，得
x^a=a,於是x=
當a=2或4時，都有x=
如何判斷a=4時的解是偽解呢？
用歸納法，很容易證明對任意的n>=0，當x>1時，f(n,x)是單調增函式：
f(0,x)=x在x>1時是單調增函式；
假設f(n,x)在x>1時是單調增函式；
對x2>x1>1，f(n+1,x2)=x2^f(n,x2)>x1^f(n,x2)>x1^f(n,x1)=f(n+1,x1)，即f(n+1,x)是增函式；
從而，對任意的n>=0，當x>1時，f(n,x)是單調增函式。
按單調增函式性質，若f(n->∞,x2)>f(n->∞,x1)，則必有x2>x1，從而a=2和4的解不可能都是。
再單調增函式性質，對f(n->∞,x2)=4>f(n->∞,x3)=e，則必有x2>x3=>1.444，然而<，從而可知：
f(n->∞,x)=4的解是偽解。
不分辨解的真偽，就會得到2=f(∞,x)=4，從而得出所謂“悖論”、“數學危機”的驚人結論。