內容簡介
本書在選材上注重充分反映偏微分方程數值解法中的核心內容，力圖展現算法構造與分析的基本思想；在內容的處理上，體現了由淺入深、循序漸進的原則；在敘述表達上，嚴謹精練、清晰易讀，便於教學與自學。為便於讀者複習、鞏固、理解和拓廣所學的知識，每章之後配置了相當數量的習題，並在書後附上了大部分習題的答案或提示。
本書可作為綜合大學、理工科大學、高等師範院校計算數學以及相關學科的本科生和研究生的教材或教學參考書，也可供從事計算數學、套用數學和科學工程計算研究的科技人員參考。
圖書目錄
第1章 橢圓型偏微分方程的差分方法
1.1 引言
1.2 模型問題的差分逼近
1.3 一般問題的差分逼近
1.3.1 格線、格線函式及其範數
1.3.2 差分格式的構造
1.3.3 截斷誤差、相容性、穩定性與收斂性
1.3.4 邊界條件的處理
1.4 基於最大值原理的誤差分析
1.4.1 最大值原理與差分方程解的存在唯一性
1.4.2 比較定理與差分方程的穩定性和誤差估計
1.5 漸近誤差分析與外推
1.6 補充與註記
習題1
第2章 拋物型偏微分方程的差分方法
2.1 引言
2.2 模型問題及其差分逼近
2.2.1 模型問題的顯式格式及其穩定性和收斂性
2.2.2 模型問題的隱式格式及其穩定性和收斂性
2.3 一維拋物型偏微分方程的差分逼近
2.3.1 直接差分離散化方法
2.3.2 基於半離散化方法的差分格式
2.3.3 一般邊界條件的處理
2.3.4 耗散與守恆性質
2.4 高維拋物型偏微分方程的差分逼近
2.4.1 高維盒形區域上的顯式格式和隱式格式
2.4.2 二維和三維交替方向隱式格式及局部一維格式
2.4.3 更一般的高維拋物型問題的差分逼近
2.5 補充與註記
習題2
第3章 雙曲型偏微分方程的差分方法
3.1 引言
3.2 一維一階線性雙曲型偏微分方程的差分方法
3.2.1 特徵線與CFL條件
3.2.2 迎風格式
3.2.3 15ax-Wendroff格式和Beam-Warming格式
3.2.4 ：蛙跳格式
3.2.5 差分格式的耗散與色散
3.2.6 初邊值問題與邊界條件的處理
3.3 一階雙曲守恆律方程與守恆型格式
3.3.1 有限體積格式
3.3.2 初始條件與邊界條件的處理
3.4 對流擴散方程的差分方法
3.4.1 對流擴散方程的中心顯式格式與修正中心顯式格式
3.4.2 對流擴散方程的迎風格式
3.4.3 對流擴散方程的隱式格式
3.4.4 對流擴散方程的特徵差分格式
3.5 波動方程的差分方法
3.5.1 波動方程的顯式格式
3.5.2 波動方程的隱式格式
3.5.3 變係數波動方程隱式格式的能量不等式和穩定性
3.5.4 基於等價一階方程組的差分格式
3.5.5 交錯型蛙跳格式與局部能量守恆性質
3.6 補充與註記
習題3
第4章 再論差分方程的相容性、穩定性與收斂性
4.1 發展方程初邊值問題及其差分逼近
4.2 截斷誤差與逼近精度的階，相容性與收斂性
4.3 穩定性與Lax等價定理
4.4 穩定性的von Neumann條件和強穩定性
4.5 修正方程分析
4.6 能量分析方法
第5章 橢圓邊值問題的變分形式
5.1 抽象變分問題
5.1.1 抽象變分問題
5.1.2 Lax-Milgram引理
5.2 變分形式與弱解
5.2.1 橢圓邊值問題的例子
5.2.2 Sobolev空間初步
5.2.3 橢圓邊值問題的變分形式與弱解
5.3 補充與註記
習題5
第6章 橢圓邊值問題的有限元方法
6.1 Galerkin方法與Ritz方法
6.2 有限元方法
6.2.1 有限元方法的一個典型例子
6.2.2 有限元的一般定義
6.2.3 有限元與有限元空間的例子
6.2.4 有限元方程與有限元解
6.3 補充與註記
習題6
第7章 橢圓邊值問題有限元解的誤差估計
7.1 Cea引理與有限元解的抽象誤差估計
7.2 Sobolev空間插值理論
7.2.1 Sobolev空間的多項式商空間與等價商範數
7.2.2 仿射等價開集上Sobolev半範數的關係
7.2.3 多項式不變運算元的誤差估計
7.2.4 有限元函式的反估計
7.3 多角形區域上二階問題有限元解的誤差估計
7.3.1 H1範數意義下的誤差估計
7.3.2 Aubin—Nische技巧與L2範數意義下的誤差估計
7.4 非協調性與相容性誤差
7.4.1 第一和第二：Strang引理
7.4.2 Bramble-Hilbert，引理和雙線性引理
7.4.3 數值積分引起的相容性誤差
7.5 補充與註記
習題7
第8章 有限元解的誤差控制與自適應方法
8.1 有限元解的後驗誤差估計
8.2 後驗誤差估計子的可靠性與有效性
8.3 自適應方法
8.3.1 h型、p型與h-p型自適應方法
8.3.2 格線重分布型自適應方法
8.4 補充與註記
習題8
部分習題答案和提示
符號說明
參考文獻
名詞索引
