信息安全數學基礎[成都信息工程大學張金全副教授等]

本書由成都信息工程大學張金全副教授主編，南陽理工學院段新東博士參與編寫，成都信息工程大學張仕斌教授為本書提供了大量素材。同時，張仕斌教授和哈爾濱師範大學劉煥平教授審閱了本書的結構，成都信息工程大學多位本科學生參與了編寫和校對工作。

主要內容

對稱密碼算法高級加密標準AES和公鑰密碼算法RSA、DSA以及SM2、ECDSA等在信息安全領域被廣泛使用. 本書以幫助讀者學習和理解這些密碼算法為目標，以直接明了、淺顯易懂的方式，介紹掌握這些算法所需具備的初等數論中同餘和原根，近世代數中群、環、域的基礎知識以及橢圓曲線的基礎知識.

本書可作為高等學校信息安全本科生的教材，特別適合自學密碼算法所基於的數學基礎理論知識的人員參考.

目錄

•第1章 整數的可除性 1

•1.1 整除 1

•1.2 最大公因數 4

•1.2.1 帶餘除法 4

•1.2.2 最大公因數 5

•1.2.3 歐幾里德算法 7

•1.3 最低公倍數 13

•1.4 算術基本定理 15

•習題1 16

•第2章 同餘 18

•2.1 同餘的基本性質 18

•2.2 完全剩餘系 22

•2.3 簡化剩餘系 26

•2.4 歐拉函式 29

•2.5 歐拉定理 31

•2.6 Fermat(費馬)小定理及套用 33

•2.6.1 費馬小定理 33

•2.6.2 MillerRabin素性檢測算法 34

•2.7 模冪運算 35

•2.7.1 模重複平方計算法 35

•2.7.2 平方乘計算法 37

•習題2 39

•第3章 一次同餘方程 40

•3.1 一次同餘方程 40

•3.1.1 同餘方程 40

•3.1.2 解一次同餘方程 40

•3.2 一次同餘方程組 45

•3.2.1 中國剩餘定理 45

•3.2.2 同餘方程的解數 49

•3.2.3 擴展閱讀 50

•3.3 密碼學中的套用 52

•3.3.1 密碼學的基本概念 52

•3.3.2 仿射密碼算法 52

•3.3.3 RSA公鑰密碼算法 54

•3.3.4 單向函式 58

•3.3.5 中國剩餘定理用於RSA解密 59

•習題3 59

•第4章 二次同餘 61

•4.1 二次同餘方程 61

•4.2 Legendre（勒讓得）符號 64

•4.3 擴展閱讀 69

•習題4 71

•第5章 原根和離散對數 73

•5.1 原根和階 73

•5.1.1 原根和階的定義 73

•5.1.2 原根和階的性質 74

•5.1.3 素數的原根 79

•5.2 離散對數 80

•5.3 離散對數在密碼學中的套用 81

•5.3.1 ElGamal密碼算法 82

•5.3.2 數字簽名標準的參數選取 83

•習題5 83

•第6章 近世代數基礎 85

•6.1 群 85

•6.1.1 群的基礎知識 85

•6.1.2 循環群 88

•6.1.3 同態與同構 90

•6.2 環 91

•6.2.1 環 91

•6.2.2 一元多項式環 93

•6.3 有限域 93

•6.3.1 域的定義 93

•6.3.2 域上的一元多項式 94

•6.3.3 域上一元多項式的運算規則 95

•6.3.4 一元多項式的整除 96

•6.3.5 域中的一元多項式的帶餘除法 97

•6.3.6 多項式的公因式 97

•6.3.7 不可約多項式 99

•6.3.8 多項式同餘 100

•6.3.9 一種構造有限域的方法 101

•6.4 在高級加密標準（AES）中的套用 103

•6.5 擴展閱讀 106

•習題6 107

•第7章 橢圓曲線基礎 108

•7.1 橢圓曲線概述 108

•7.2 域Fp上的橢圓曲線 108

•7.3 域F2m上的橢圓曲線 115

•7.4 在密碼學中的套用 119

•習題7 120

•參考文獻 122

•後記

學習提示

【28頁】【定理2.3.4】的證明，如果使用【定理2.3.3】進行證明更方便理解，雖然書上的證明也沒有錯。

【81頁】【定理5.2.1】中，r≡inda(modφ(m))的理解是r≡(inda)(modφ(m)).

【81頁】【例5.2.2】是一個驗證性的例題。

教材糾錯

•作者雖然很小心校對，但在使用過程中還是發現了一些錯誤，給讀者閱讀帶來了不便，特別開設糾錯項，讓大家一起糾錯，以便再版時更正。在此向讀者表示歉意，也向糾錯的讀者表示感謝！

•【74頁】 倒數第7行，4≡-1(mod15)，應該為4≡1(mod15)

•【97頁】 第6行 應當為： f(x)=q(x)g(x)+r(x),r(x)=0或者deg r(x)

•【101頁】【定理6.3.7】中， a+ax+ax+...+ax,少了“...+”。

•【102頁】倒數第5行應當為：≡1（mod f(x))

•【102頁】【例6.3.25】題目的最後，應該是：求h(x)⊕g(x).

•【104頁】第10行中 由定理6.3.8可知 應當為：定理6.3.7可知

•【107頁】 習題6 第3題 應當為：找出 上所有次數為5的不可約多項式.

•【119頁】 最後一行的最後面：{α，β}是公鑰 應當為 {β，G}是公鑰