龐加萊一本迪克松定理

龐加萊-本迪克松定理(Poincaré-Bendixson theorem)是平面定性理論的經典成果並是後續研究的重要基礎。給定系統dx/dt=X(x)，(1)，或平面系統：dx/dt=P(x,y),dy/dt=Q(x,y)，(2)，龐加萊-本迪克松定理斷言：若系統(2)的一條正半軌保持在某一不含奇點的有界區域內，則它盤旋逼近於一條極限環(它在該軌線所在一側為穩定)。設有集合A，如果對任一x∈A及一切t∈R，(1)或(2)的軌線φt(x)∈A，則稱A為系統(1)或(2)的不變集。顯然，ω或α極限集均為不變集。如果不存在A的不變真子集，則非空不變集A稱為一個極小集。關於極小集的結構，施瓦茲(A.J.Schwarz)於1963年將上述結果推廣到定義於二維流形上的C類流，得到下述結論(亦稱施瓦茲定理)：C類流形M上的C流的非空緊極小集必屬於下列情形之一：1.一個奇點；2.一條閉軌；3.整個流形M。對維數n>2的系統，則可以有結構複雜的極限集，例如混沌集等 。

基本介紹

定理

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(龐加萊-本迪克松定理) 考慮上的微分方程。

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(a)假設在上有定義，正半軌有界，則：(i)含有不動點或(ii)是周期軌。

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(b)假設是有界閉子集且是微分方程的正不變集，假設在內有定義，但沒有不動點，則對任意的，軌線：(i)是周期軌或(ii)趨於一個周期軌( 當時)且就是該周期軌。

注意點

注1要使平面上的連通區域A既是正不變集又不含有不動點，則它必是含有一個“洞”的環域，這樣它就有兩條邊界，每一邊界都是閉曲線(不必是圓)。

注2為使環域A成為正不變集，只需系統的向量場在邊界上指向環域內部。

注3對上述定理可做適當的變動，即環域A是負不變集，邊界上的軌線都進入A的外部 。

證明思路

這裡敘述證明的關鍵思路，證明需要利用流關於初始值的連續性。

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軌線正向位於A內，勢必不斷地接近於某點z，即存在時間序列使得。這種思想就是數學中的緊性，類似於有界遞增點列一定收斂，於是中的有界點列必須趨近於某點。點z不是不動點，其附近的軌線大致有相同的走向。設為過點z的截線，使得附近其他軌線同向穿過S，則對於充分大的n，總可以調節使得。取一段軌線

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以及S上與之間的線段，它們構成一條閉曲線，該閉曲線將分成兩部分(參見圖1)。從出發的軌線要么進入的外部，要么進入的內部；而從上任一點出發的軌線具有相同的性態。因此當時不可能重新進入其他區域，這意味著軌線與S的交點呈現單調性，它們必從一側收斂於z。進一步分析表明，如果z不是周期的，則附近的軌線不可能返回，故z必須是周期的。

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由上述證明可在收斂於周期軌方面獲得更多的認識，實際上，若一條軌線在極限環的一側聚集，則龐加萊映射在該側是單調且吸引的。這說明極限環該側附近的軌線的極限集就是該極限環，極限環在該側是軌道漸近穩定的。如果周期軌兩側的軌線的極限集都是該周期軌，則該周期軌就是(兩側)軌道漸近穩定的，即有下述推論 。

圖1

推論

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推論 考慮上的微分方程，假設為孤立的周期軌。

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(a) 假設且以為其極限集，即，則對於充分靠近且與p位於同側的點q，有，即為單側軌道漸近穩定的；

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(b) 假設，位於的不同側，且，則是軌道漸近穩定的(雙側) 。