圖書目錄
第1章函式——微積分的研究對象
1.1預備知識
1.1.1集合
1.1.2實數
1.1.3區間與鄰域
習題1.1
1.2函式
1.2.1函式概念
1.2.2函式的表示方法
習題1.2
1.3函式的幾種特性
習題1.3
1.4反函式與複合函式
1.4.1反函式
1.4.2複合函式
習題1.4
1.5初等函式
1.5.1基本初等函式
1.5.2常見的初等函式
習題1.5
1.6數學模型
1.6.1數學模型的建立
1.6.2常用的經濟函式
1.6.3經濟套用舉例
習題1.6
總習題1
第2章極限——微積分的靈魂
2.1數列的極限
習題2.1
2.2函式的極限
2.2.1自變數趨向於無窮大時函式的極限
2.2.2自變數趨向於有限值時函式的極限
2.2.3單側極限
習題2.2
2.3極限的性質
習題2.3
2.4無窮小量與無窮大量
2.4.1無窮小量
2.4.2無窮小量的運算性質
2.4.3無窮大量
習題2.4
2.5極限的運算法則
習題2.5
2.6極限存在準則兩個重要極限
2.6.1極限存在準則
2.6.2兩個重要極限
2.6.3重要極限套用舉例
習題2.6
2.7無窮小的比較
習題2.7
2.8連續函式——變數連續變化的數學模型
2.8.1函式的連續性
2.8.2函式的間斷點
習題2.8
2.9連續函式的運算與初等函式的連續性
2.9.1連續函式的運算
2.9.2初等函式的連續性
習題2.9
2.10閉區間上連續函式的性質
習題2.10
總習題2
第3章導數與微分——函式的變化率與函式增量的估計
3.1導數
3.1.1導數的兩個現實原型
3.1.2導數的定義
3.1.3左導數與右導數
3.1.4可導與連續的關係
3.1.5幾個基本初等函式的導數
習題3.1
3.2函式的求導法則
3.2.1導數的四則運算法則
3.2.2反函式的導數
3.2.3複合函式的導數
習題3.2
3.3高階導數
習題3.3
3.4隱函式及由參數方程所確定函式的導數
3.4.1隱函式的導數
3.4.2參數方程所確定的函式的導數
習題3.4
3.5函式的微分
3.5.1微分概念
3.5.2基本初等函式的微分公式與微分運算法則
3.5.3微分在近似計算中的套用
習題3.5
3.6物理與經濟學中的導數問題
3.6.1導數的物理含義
3.6.2導數的經濟含義
習題3.6
總習題3
第4章微分中值定理與導數的套用
4.1微分中值定理——聯結局部與整體的紐帶
習題4.1
4.2洛必達法則
4.2.100型不定型
4.2.2∞∞型不定型
4.2.3其他類型的不定型
習題4.2
4.3泰勒公式
4.3.1泰勒公式
4.3.2常用的泰勒公式
習題4.3
4.4函式的單調性與曲線的凹凸性
4.4.1函式的單調性
4.4.2曲線的凹凸性
習題4.4
4.5函式的極值與最值
4.5.1函式的極值
4.5.2函式的最值
習題4.5
4.6函式圖像的描繪
習題4.6
總習題4
第5章不定積分——求導運算的逆運算
5.1不定積分的概念與性質
5.1.1原函式與不定積分的概念
5.1.2不定積分的性質
習題5.1
5.2不定積分的基本公式
習題5.2
5.3換元積分法
5.3.1第一類換元積分法(湊微分法)
5.3.2第二類換元積分法
習題5.3
5.4分部積分法
習題5.4
總習題5
第6章定積分——連續對象的無窮求和問題
6.1定積分的概念和性質
6.1.1定積分的兩個現實原型
6.1.2定積分的定義
6.1.3定積分的幾何意義
習題6.1
6.2定積分的基本性質
習題6.2
6.3微積分基本公式
6.3.1積分上限函式及其導數
6.3.2牛頓萊布尼茨公式
習題6.3
6.4定積分的換元積分法與分部積分法
6.4.1定積分的換元積分法
6.4.2定積分的分部積分法
習題6.4
6.5廣義積分
6.5.1無窮區間上的廣義積分
6.5.2無界函式的廣義積分
習題6.5
6.6定積分的套用
6.6.1定積分的微元法
6.6.2定積分在幾何學上的套用
6.6.3定積分在物理與經濟中的套用
習題6.6
總習題6
附錄1常用的曲線及其方程
附錄2積分表
習題答案
參考文獻
前言
面對高等教育大眾化的現實，本科套用型人才的培養已成為高等教育關注的熱點.教材是人才培養的重要載體，需服務於人才培養目標.本教材立足於普通高等院校套用型人才培養目標，以數學教育理論為指導，按照教育部有關數學內容和課程體系方面的要求，博採眾家之長，在多年努力探索和實踐的基礎上，由從事高等數學教學與研究的一線教師精心編寫而成.
微積分是高等數學的主要內容，它的誕生堪稱人類智慧最偉大的成就之一.它處理連續量的基本理論以及所擁有的科學思維方法，在自然科學和社會科學中都呈現出巨大的套用威力.因此，本教材在保持微積分理論體系完整性和科學性的基礎上，極力發揮微積分培養理性思維的作用，展示微積分在解決實際問題中的魅力，滿足人的成長與發展的需要.為此，本教材力求：
（1）追求直觀自然.教材中，在闡述概念、性質、定理的過程中，追本溯源，從具體問題、引例或故事出發，自然地引入數學基本概念.在解決問題的過程中，結合圖形或數據，逐步演示尋找答案路徑，並對全過程進行分析或嚴格證明，從而讓抽象變得直觀，推理變得自然.
（2）融入數學思想.微積分蘊涵豐富的數學思想，如果拋棄其思想精髓，而將其作為概念、定理、公式、習題等內容的堆砌，這樣的教材將成為一堆僵死的教條，難以激發學生的學習熱情.因此，本教材著力於揭示基本概念的本質和滲透在知識體系中的數學思想.例如，無論是在一元函式還是多元函式微積分中，教材始終貫穿微積分的基本思想，即利用“局部線性化”和極限思想處理非均勻變化問題；在積分學中，突出利用微元法解決問題的辯證思維過程：化整為微——局部以直代曲（以均勻代不均勻）——積微為整；在無窮級數中，強調函式展開成級數中“簡單表示複雜”、“有限認識無限”的數學思想等.運用這些數學思想分析問題、解決問題，有利於良好認知結構的形成，有利於思維品質的提升.
（3）滲透數學文化.結合教材內容，適當穿插介紹相關知識背景和數學史實，讓學生從微積分創立、發展到完善的艱難曲折過程中，從數學家努力探索到獲得成就的過程中接受數學文化的感染，這不僅體現了數學的人文精神，更多的是在潛移默化中培養學生的綜合素質.另外，每章附設的“擴展閱讀”以及相關知識點中的“想一想”，延伸和拓展學生的視野，引導學生主動思考與積極探索.
（4）展示套用價值.數學來源於生活，數學的套用理應回歸生活.本教材中幾乎每章都列舉了一些具有套用背景的實例，這些例子除了涉及經典的幾何、物理方面的套用外，還涉及現代經濟和生活方面的套用，讓學生在廣泛運用數學思想方法解決實際問題的過程中，體會數學的實用價值，增強數學的套用意識.
在內容的編排上，本書基本保持了經典教材的框架結構，並根據相關專業的需要對有關章節進行了調整.將定積分與定積分的套用合併在一章中講述；根據管理類專業的要求，在第7章中增加了差分方程；為了與電子信息類各專業的專業課程教學相銜接，將常微分方程與無窮級數分別調至第7章與第8章；為了適用現代信息技術的要求，在附錄中增設數學軟體在高等數學中的套用.
本書由季紅蕾編寫第1章至第4章、第6章和第11章，劉桂蘭編寫第5章,黃素珍編寫第7章、第8章和附錄（MATLAB在高等數學中的套用)，卞小霞編寫第9章和第10章，王振編寫第12章.全書由季紅蕾負責統稿.
本書從醞釀編寫到正式出版得到了許多幫助和支持.鹽城工學院數理學院陳萬勇院長、薛長峰教授為本書編寫提供了寶貴的建議，王振博士對本書圖文校對付出了辛勤的勞動，鹽城工學院數理學院各位同事為本書面世給予了大力的支持，清華大學出版社馮昕老師和趙從棉老師為本書出版給予了有力的幫助，鹽城工學院教材出版基金提供了資助.在此一併表示由衷的感謝.此外，本書參考了許多同類教材和相關文獻，恕不一一標明出處，在此謹向所有相關作者表示深深的謝意！
由於編者水平有限，書中缺點和錯誤在所難免，懇請廣大同仁、讀者批評指正.
編者
2015年7月
