定義
連續集值映射
連續集值映射
連續集值映射
連續集值映射
連續集值映射
連續集值映射
連續集值映射 連續集值映射稱集值映射在點處是 下半連續的，若對任何及，總有，使得成立，若在X上的每一點都是 下半連續的，則稱是在X上下半連續的。稱集值映射是 連續的，若它既是上半連續又是下半連續的 。
相關概念
集值映射
連續集值映射
連續集值映射
連續集值映射
連續集值映射
連續集值映射 連續集值映射 連續集值映射
連續集值映射
連續集值映射 連續集值映射 連續集值映射
連續集值映射
連續集值映射 連續集值映射
連續集值映射
連續集值映射
連續集值映射
連續集值映射
連續集值映射
連續集值映射對於兩個集合，如果按照一個對應關係(規則)，使得對於中的每一元素，都有中的一個(幾個)確定的元素與之對應，那么我們把這個對應關係叫做集合到集合的 單值(多值)映射，多值映射也稱“ 集值映射”。通常用…等符號來代表映射，當表示一個由集合到集合的映射，那么記，或，對任意，對於任意集合，我們把集合叫做的象，而對任何集合，我們把集合叫做的 原象(逆象)。
凹函式與凸函式
連續集值映射
連續集值映射定義1對凸集上的函式，如果不等式
連續集值映射
連續集值映射
連續集值映射 連續集值映射 連續集值映射 連續集值映射對任意的和任意成立，那么我們稱函式為上的 凹函式。當不等式是嚴格不等式時，我們叫為 嚴格凹函式。
類似可定義凸函式。凹函式圖像如圖1。
圖1 連續集值映射
連續集值映射下面的定義都將限制集合是中的有界閉、凸集。
上半連續
連續集值映射
連續集值映射
連續集值映射
連續集值映射
連續集值映射
連續集值映射定義2對多值映射序列，如果當且時有，那么，我們說映射是 上半連續的。
連續集值映射當為單值映射時，以上就是它的連續性定義。
下半連續
連續集值映射
連續集值映射
連續集值映射 連續集值映射定義3若從能夠推出存在使得則稱映射為 下半連 續。
連續集值映射由定義得知，要證明映射的下半連續性，就要找出滿足定義條件的序列來。
相關性質
線性組合
關於多值映射的線性組合，我們有如下定義。
連續集值映射
連續集值映射定義4假定有幾個映射是上半連續的，是凸且有界閉的集合，那么映射
連續集值映射
連續集值映射
連續集值映射叫做映射的 線性組合，並用記號。
定理1
連續集值映射
連續集值映射
連續集值映射 連續集值映射假定集合是凸，有界閉集，定必在上的連續函式關於是凹的，那么映射
連續集值映射
連續集值映射是上半連續的，且集合是非空凸、閉集。
定理2
連續集值映射 連續集值映射
連續集值映射 連續集值映射
連續集值映射
連續集值映射 連續集值映射假定集合X與Y是凸、有界閉集，函式定義在上，且對x與y分別是連續的，對y是凸的，如果存在，使得對所有滿足。那么映射既是上半連續又是下半連續，並且集合是非空，凸且閉的。
定理3
連續集值映射 連續集值映射 連續集值映射 連續集值映射
連續集值映射 連續集值映射 連續集值映射假定連續函式定義在上，其中是凸，有界閉集，對y是凹的，並且多值映射是上半且下半連續的，集非空，對任意是凸的。那么映射
連續集值映射 連續集值映射是上半連續的，集合是非空，凸且有界閉的集合。
定理4
關於多值映射的線性組合，有如下結論。
上半連續映射的線性組合也是上半連續的。
定理5
下述的日本學者卡庫坦的多值映射不動點定理，在經濟數學中占有重要地位。
連續集值映射 連續集值映射 連續集值映射 連續集值映射
連續集值映射
連續集值映射假定是凸且有界閉的中的子集，映射是上半連續的，集合是非空凸集，那么存在，使。
