基本介紹
兩條線段的公度
無公度線段
無公度線段
無公度線段取一個定長線段a，分別去量兩線段b、c，如果線段b、c都含有定長線段a的正整倍數而沒有剩餘，則線段a稱為線段b、c的公度。如圖1，，則線段a就是和的公度。
有公度的線段稱為可公度線段。
圖1不可公度線段
無公度線段亦稱“ 不可公度線段”，也說兩條輾轉相截永遠有剩餘的線段就是無公度線段。如，(1)正方形的一邊和對角線是無公度線段； (2)在一條直角邊是另一條直角邊二倍的直角三角形中，斜邊和直角邊是無公度線段；(3)底角為36°的等腰三角形的底和腰是無公度線段；(4)正三角形的邊和高是無公度線段 。
舉例說明
無公度線段
無公度線段定理 正方形的對角線和它的邊長是不可公度的，即是說的對角線不是一邊的有理數倍(圖2)。
圖2我們用反證法證明，假設定理的反面成立，即假設
無公度線段
無公度線段其中代表整數，我們自然可以假設p和q是互素的，即沒有公因數，如果有，約去後就沒有公因數了。
式(1)可寫作
無公度線段式(2)平方得
無公度線段
無公度線段
無公度線段由勾股定理，，代人式(3)並約去得
無公度線段式(4)左端能被2除盡，於是p只能是偶數，命
無公度線段
無公度線段其中表示整數，則
無公度線段即
無公度線段
無公度線段仿上面得出q也必然是偶數：。
照此說來，若定理反面成立，p和q並非互素而有公因數2了，這矛盾反證了一個極為重要的事實：客觀空間中存在不可公度的量，正方形的對角線和邊就是不可公度的。
這一事實是被古希臘的哲學學派(畢達哥拉斯學派)發現的，並且給這個學派的哲學理論基礎帶來了巨大的衝擊。這個學派很重視數學，把數學概念作為他們哲學理論的基礎，他們認為“自然界的一切都可以度量，都受數的支配，一切事物的本質是數，……，在人的一切工作中，一切藝術、手藝和音樂中都可以看到數的本質和威力，數就是一切，事物的本質和基礎不是物質，而是數。”
這個觀點是唯心的。
正是把數(看作量與量之間的關係和度量的結果)作為自己哲學基礎的畢達哥拉斯學派發現了不可公度的線段存在，他們宣布“一切都可以度量”，自然意味著度量數是當時所理解的分數，而一邊等於單位的正方形的對角線卻沒有數的形式，這恰好與他們的哲學基礎“迎頭相撞”，於是他們感到驚訝，驚慌失措，禁止把無公度線段存在的發現泄露出去，但學派中一個成員泄露了秘密，被逐出學派。
真理是禁止不了的，無公度的線段存在這個事實傳開了，數學前進了一大步。線段總有個長度，即有個量數，正方形的對角線的量數，既不是整數，又不是分數，就超出當時所知道的數的範圍了。這種新認識的數被稱為無理數。相對而言，把原來認為僅有的數稱為 有理數。“無理”的並不是“無理數”，而是這個命名。無理數既不是整數和有限小數，也不是無限的循環小數，就必然是無限的不循環小數。這就是線段度量的第四種情況。
無公度線段
無公度線段不要以為度量線段才會出現無理數。例如說，鐵的比重是7.8 g/cm ，有一塊底面是每邊1cm的正方形，而高等於這個正方形的對角線d，重量就是；由於是無理數，這塊鐵的重量就是無理數。
這樣，人類在實踐中不斷發現，有所發明、創造和前進，把數的概念一步步擴大，由整數到分數，由正數到負數，由有理數到無理數，由實數到虛數，都是為實踐服務的 。
