一、點對圓的冪
平面上任意一點



由此也可以把點對圓的冪定義為:

這裡




點對圓的冪的幾何意義是明顯的:
若點在圓外,則冪為點到圓的切線長度的平方;
若點在圓上,則冪為0;
若點在圓內,則冪為負數,其絕對值等於過點


二、根軸
平面上兩不同心的圓

顯然,對兩圓等冪的點集是直線:

該直線稱為兩圓的根軸。根軸必垂直於兩圓的連心線。
若兩圓相交,則根軸就是連線二公共點的直線;
若兩圓相切,則根軸就是過切點的公切線;
若兩圓相離或內含,則根軸完全位於兩圓之外,但仍垂直於兩圓的連心線。
當圓1和圓2相離或內含時,用尺規作出這兩圓的根軸需要依賴“根心定理”(見第三部分)。具體的做法是:另作一個適當的圓3與前兩圓都相交,圓3分別與前兩圓形成根軸,這兩條根軸的交點即是圓1、圓2和圓3的根心,它必定在圓1和圓2所形成的根軸上;同理,再找一個適當的圓4,找到圓1、圓2和圓4的根心。連線所找到的兩個根心,即得到圓1和圓2的根軸。
三、根心與根心定理(解析幾何證法)
三個兩兩不同心的圓

任意兩圓形成一條根軸,因而共有三條根軸:

這三條根軸的直線方程(以下簡稱為根軸方程)是線性相關的,即由其中兩個根軸方程進行線性組合,可以得出第三個根軸方程。因此:
(i)若平面上某一點是其中兩個根軸方程的公共解(亦即兩根軸的公共點),則必定也是第三條根軸上的點。
(ii)若某兩個根軸方程無公共解(即平行),則三個根軸方程中的任意兩個均無公共解(即三條根軸兩兩平行)。
具體而言,三個兩兩不同心的圓的根軸,僅僅包含下面三種情況:
(1)三根軸兩兩平行;
(2)三根軸完全重合;
(3)三根軸兩兩相交,此時三根軸必匯於一點,該點稱為三圓的根心。
上面所證明的即是“根心定理”。
以上用解析幾何的方法證明了根心定理。在平面上,二元方程對應一條曲線,而方程組的解對應著曲線的公共點。利用這個思想,從根軸方程的線性相關性出發,容易得到平面幾何上的根心定理。這種證明方法十分簡單。
四、根心定理的相關例題
以下例題選自2013年(第54屆)國際數學奧林匹克競賽(IMO)第二天第4題:








求證: X,Y,H 三點共線。
證明:如圖,記




顯然,B,C,M,N共圓,記該圓為







記的



由Miquel定理,可以直接證明U也在




證畢。
註:Miquel定理的內容如下:在△ABC的BC,AC,AB邊上分別取點W,M,N,對△AMN,△BWN和△CWM分別作其外接圓,則這三個外接圓共點。
該定理的證明很簡單,利用“圓內接四邊形對角和為180度”及其逆定理。現在已知U是





