問題原型
一位武士在上廁所時遭到敵人襲擊，矢石如雨，而他只有一根短棒，為了擋住射擊，需要將短棒旋轉一周360°（支點可以變化）。但廁所很小，應當使短棒掃過的面積儘可能小。面積可以小到多少？
問題提出
由日本數學家掛谷宗一(かけや そういち Soichi Kakeya，1886-1947)於1917年提出，又稱“掛谷轉針問題”(Kakeya needle problem)。這個問題的數學表述為： 長度為1的線段在平面上做剛體移動（轉動和平移），轉過180度並回到原位置，掃過的最小面積是多少？
其中轉過180°和轉過360°是實質等同的，因此只考慮旋轉180°的情況。
這個問題引起當時很多人的興趣，如1925年伯考夫(G. D. Birkhoff，1884-1944)在他寫的《相對論的來源、性質與影響 The origin, nature, and influence of relativity》一書中提到：“近幾年日本數學家掛谷宗一提出的問題，是同樣令人感興趣的問題。”
解決歷程
定義長度為 1 的線段可在點集中轉過180°，那這樣的點集被稱為掛谷集(Kakeya Set)或別西科維奇集(Besicovitch set)。這樣就把掛谷問題轉化為了求面積最小的掛谷集。
掛谷問題中短棒有多種旋轉方式，主要有：半圓、圓、三角、環以及內擺線等。
半圓首先，我們考慮繞著線段一端轉半圈的情形。毫無疑問地，這圖形是個半徑為1的半圓，面積是π/2≈1.57079633。
圓
三角形數學家們肯定不會考慮上述這些幾乎沒有技術含量的東西。在掛谷宗一提出這個問題後，有數學家發現，若這個線段在正三角形（高為 1，邊長為 2/√3 ）中每一頂點處都旋轉 60°，可以算出這種情況下，線段掃過面積為 1/√3。
圓環當然，若線段夾在兩個圓之間，轉過180°的面積既小於整個圓環，又大於半個圓環，當內圓的半徑無限增大時，面積趨近於π/8，但始終不等於π/8。
內擺線能否讓掃過的面積剛好為π/8呢，掛谷宗一本人想到的是藉助三尖內擺線，計算表明，這種情況下線段掃過的面積是 π/8 。掛谷本人及其他許多數學家都認為這就是最小面積了。
問題解決
1928年，蘇聯數學家別西科維奇（Besicovitch，Abram Samoilovitch，1891-1970）解決了這個問題， 答案是可以任意小。
佩龍樹1920 年前蘇聯數學家貝西科維奇（A．S．Besicovitch）在自己的研究領域提出一個類似的問題:是否存在一個面積（若爾當測度）為 0 的平麵點集，它在每一方向上都有長度1的線度？ 1928 年別西科維奇解決了自己的問題，即構造出面積任意小的平麵點集(貝西科維奇集)，在每一方向上都有長度 1 的線段。
貝西科維奇用了一種構造性的證明方法。想像一個高為1的等邊三角形，把它平分，再把兩個直角三角形稍微疊在一起，如圖。這個新圖形面積比三角形小，但是在其中，屬於 [-120°,-60°] 的每個角都能找出邊長 ≥1 的線段。
現在重新開始，把三角形平均分為 8 個，把它們兩兩疊在一起，再兩兩疊在一起，這種圖形就叫做“佩龍Perron樹”。如果我們重複這個步驟，把三角形分為 16 個、32 個、……、 2^n個，顯然整個圖形的面積可以越來越小，並且可以證明圖形面積無限趨近於0。
把 3 個佩龍樹分別旋轉 0°，120°，240° 併疊在一起，可以看到，最後的圖形在每個角上都有邊長 ≥1 的線段，這也就是說它是一個貝西科維奇集，並且面積任意小。
掛谷問題他的結論出乎絕大多數人的意料： 短棒掃過的面積可以任意地小（因而沒有最小值）。在德國數學家佩龍在 1928 年和另一位數學家舍恩伯格在 1962 年兩度化簡後，這個問題成為了數學中的經典例子。
解答完善
雖然別西科維奇給出了解答，但是這並不完美，因為如此構造出的掛谷集不是單聯通的（他們得到的掛谷集有很多洞）。1965 年沃克（R. J. Walker）首先找到比掛谷本人解答的面積更小的單連通域掛谷集。同年布洛姆、舍恩伯格和坎寧安（F.Cunningham）先後造出面積為 （5 - 2√2）π/24 的單連通掛谷集。這個面積被命名為 Bloom-Schoenberg number。 1971 年坎寧安終於在單位圓內作出面積可以任意小的單連通掛谷集，完全解決了單連通性和有界性兩方面的問題。同時，他證明了如果限於星形（即圖形記憶體在一點，連線它與圖形中任一點的線段整個在圖形中），則掛谷集的面積不小於 π/108。
在此之後，掛谷問題又有了多種形式的推廣，比如 1971 年戴維斯（R.O.Davies）證明了一條半徑為 1 的圓弧轉過，掃過的面積不能任意小。此外，將線段改為寬度很小的長方形這類問題也開始有人研究。
