定理及簡史
設⊙O₁、⊙O₂的半徑分別為r和R，圓心距為d，若存在一個三角形以⊙O₁為內切圓(或旁切圓)，同時又內接於圓⊙O₂，則
夏普爾定理或
夏普爾定理當⊙O₁為內切圓時取“-”號，為旁切圓時取“+”號。
上述定理被稱夏普爾定理(Chapple theorem)或稱為關於三角形的歐拉定理，但不論屬於誰，這一定理的發現至今已有二百多年的歷史，而且歐拉的學生富斯(N.Fuss,1755 ~ 1825)在1798年還給出了它的一個推廣 。
定理的證明
證明 如圖1(a)，聯結AO₁，設其所在直線交⊙O₂於D，聯結BD，再過O₁作⊙O₂的直徑EF，則由圓冪定理有
夏普爾定理又
夏普爾定理
夏普爾定理(內切時取“+”號,旁切時取“一”號)，所以
夏普爾定理從而有
夏普爾定理當⊙O₁為內切圓時，R>d，有d²=R²-2Rr；當⊙O₁為旁切圓時，R<d，有d²=R²+2Rr，證畢 。
圖1（a）
圖1(b）夏普爾定理的逆命題
夏普爾定理的逆命題也成立。
夏普爾定理逆定理 設⊙O₁、⊙O₂的半徑分別為r和R，圓心距為d，若則存在一個△ABC，它外切(或旁切)於⊙O₁,又內接於⊙O₂。
證明 如圖2(a)，在⊙O₂上任取一點A，聯結AO₁交⊙O₂於D，在⊙O₂上取點B、C，使DB = DC = DO₁。
因為
夏普爾定理 夏普爾定理代人化簡得
夏普爾定理即
夏普爾定理故AB為⊙O₁的切線，同理AC也為⊙O₁的切線。
又因為∠DBO₁= ∠BO₁D=β±α，
∠DBC=∠DAC=α，
夏普爾定理所以 ∠OBC=(β±α)α=β。
故BC也為⊙O₁的切線，所以⊙O₁為△ABC的內切圓或旁切圓 。
證畢。
定理的引申與推廣
定理的引申
在歐拉定理中，若⊙O₁為△ABC內切圓時，因為d²=R²-2Rr≥0，所以R≥2r，從而有
定理1 若△ABC外接圓半徑為R，內切圓半徑為r，則R≥2r。
定理的推廣
將三角形推廣到四邊形，得到
定理2 設⊙O₁、⊙O₂的半徑分別為r、R，圓心距為d，若存在一個四邊形ABCD外切於⊙O₁且內接於⊙O₂，則
夏普爾定理此定理的逆命題也成立，同時還得到一個重要結論：既有外接圓又有內切圓的四邊形其對邊切點連線的交點在兩圓連心線上。
定理3若凸四邊形既有外接圓又有內切圓，且外接圓半徑為R，內切圓半徑為r，則
夏普爾定理更一般地，還有
夏普爾定理定理4若凸n邊形既有外接圓又有內切圓，設其外接圓半徑為R，內切圓半徑為r，則
夏普爾定理證明略 。
