隙積術和會圓術

隙積術和會圓術

隙積術和會圓術是沈括在數學領域的兩大重要研究成果,隙積術是用來計算諸如累棋、層壇、積罌(堆砌的酒罈子)一類堆垛物體的體積公式,其中包含了高階等差級數的計算公式;會圓術是計算圓弧的弦、矢(弧的高)與孤長間數量關係的數學公式。

作品信息

作品名稱:《隙積術和會圓術》
作者:沈括
出自: 《夢溪筆談》

作品原文

算術求積尺之法,如芻萌、芻童、方池、冥谷塹堵鱉臑、圓錐、陽馬之類,物形備矣,獨未有隙積一術。
古法:凡算方積之物,有立方,謂六幕皆方者,其法再自乘則得之。有塹堵,謂如土牆者,兩邊殺,兩頭齊。其法並上下廣折半以為之廣,以直高乘之。又以直高為股,以上廣減下廣,余者半之為勾,勾股求弦,以為斜高。有芻童,謂如覆斗者,四面皆殺。其法倍上長加入下長,以上廣乘之,倍下長加入上長,以下廣乘之,並二位,以高乘之,六而一。
隙積者,謂積之有隙者,如累棋、層壇及酒家積罌之類。雖似覆斗,四面皆殺,緣有刻缺及虛隙之處,用芻童法求之,常失於數少。予思而得之:用芻童法為上位,下位別列,下廣以上廣減之,余者以高乘之,六而一,併入上位。(假令積罌:最上行縱橫各二罌,最下行各十二罌,行行相次。先以上二行相次,率至十二,當十一行也。以芻童法求之,倍上行長得四,併入下長得十六,以上廣乘之,得之三十二,又倍下行長得二十四,併入上長,得二十六,以下廣乘之,得三百一十二,並二位得三百四十四,以高乘之,得三千七百八十四。重列下廣十二,以上廣減之,餘十,以高乘之,得一百一十,併入上位,得三千八百九十四。六而一,得六百四十九,此為罌數也。芻童求見實方之積,隙積求見合角不盡,益出羨積也。)
履畝之法,方圓曲直盡矣,未有會圓之術。凡圓田,既能拆之,須使會之復圓。古法惟以中破圓法拆之,其失有及三倍者。予別為拆會之術:置圓田,徑半之以為弦,又以半徑減去所割數,余者為股,各自乘,以股除弦,余者開方除為勾,倍之為割田之直徑。以所割之數自乘倍之,又以圓徑除所得,加入直徑,為割田之弧。再割亦如之,減去已割之弧,則再割之弧也。(假令有圓田,徑十步,欲割二步,以半徑為弦,五步自乘得二十五,又以半徑減去所割二步,餘三步為股,自乘得九,用減弦外,有十六,開平方,除得四步為勾,倍之為所割直徑。以所割之數二步自乘為四,倍之得為八,退上一位為四尺,以圓徑除。今圓徑十,已足盈數,無可除,只用四尺加入直徑,為所割之弧,凡得圓徑八步四尺也。再割亦依此法,如圓徑二十步求弧數,則當折半,乃所謂以圓徑除之也。)此二類皆造微之術,古書所不到者,漫志於此。

作品譯文

算術中求物體體積的方法,如芻萌、芻童、方池、冥谷、塹堵、鱉臑、圓錐、陽馬等,各種物體的形狀都齊備了,唯獨沒有隙積這一種算法。古代的算法,凡是計算物體的體積,有立方體,是指六個面都是正方形的物體。它的計算方法是把一條邊自乘兩次就求得了。有塹堵,是指像土牆一樣的形狀的物體,兩個牆面是斜的,兩頭的面是直立的。它的截面積的算法是把上、下底面的寬相加,除以二,作為截面的寬,用直高與它相乘即得。再把直高作為股,用上底面的寬減去下底面的寬,得到的差數除以二作為勾,用勾股定理算出弦,就是它的斜邊長。有芻童,是說像倒扣在地上的斗那樣的形狀,四個側面都是斜面。它的計算方法是:把上底面的長乘以二,加下底面的長,再用上底面的寬乘它,把下底面的長乘以二,加上底面的長,再用下底面的寬乘它;加上這二項,用高乘它們,再取其六分之一,就得到了它的體積。隙積是指體積有空隙的堆垛體,像壘起來的棋子、分層築造的土壇和酒店裡堆起的酒罈一類的東西。它們雖然像倒扣的斗,四個側面也都是斜的,但由於邊緣有殘缺和空隙的地方,如果用芻童法來算它,得出的數目常常比實際的少。我想出了一種算法:用芻童法計算出它的上位、下位,再列出它的下底寬,減去上底寬,把這一差數乘以高,取其六分之一,併入前面的數目即可以了。(如果有堆垛的酒罈子,最上層長、寬都是兩隻罈子,最下層長、寬都是十二隻罈子,一層層相錯開垛好。先從最上層數起;數到有十二隻罈子處,正好是十一層。用芻童法來算,把上層的長乘以二得四,加下層的長得十六,用上層的寬來乘它,得三十二。又把下層的長乘以二得二十四,加上上層的長得二十六,用下層的寬來乘它,得三百一十二。上、下兩位相加,得三百四十四,乘以高得三千七百八十四。另外把下層的寬十二減去上層的寬,得十,與高相乘,得一百一十。加上前面的數字得三千八百九十四。取其六分之一,得六百四十九。這就是酒罈子的數目。用芻童法算出的是“實方”的體積,用隙積法算出的是截剩部分拼合成的體積,可以求出多餘的體積。)丈量土地的算法,方、圓、曲、直的都有了,但沒有會圓的算法。凡是圓形土地,既能夠拆開它,又必須使它合起來能恢復圓形。古代的算法只是用“中破圓法”拆開來計算,其誤差有達三倍的。我另外設計了一種拆開、會合的方法:設定一塊圓形土地,以其直徑的一半作為弦;再從半徑減去所割下的弧形的高,它們的差數作為股。弦、股各自平方,用弦的平方減去股的平方,它們的差平方作為勾,再乘以二,就是割下的弧形田的弦長。把割下的弧形田的高平方,乘以二,再除以圓的直徑,所得的商加上弧形的弦長,便是割下的弧形田的弦長。再割一塊田,其算法也如此,把總的弧長減去已割部分的弧長,就是再割田的弧長了。(假如有一塊圓形田,直徑為十步,想使割出的弧形高二步,就用圓半徑五步作為弦,五步平方得二十五,用半徑減去弧形的高二步,它們的差數三步作為股,平方得九。用它來減弦的數二十五,得十六,開平方得四,這就是勾,再乘以二就得弧的弦長。把圓弧的高二步自乘,得數為四,再乘以二得八,退上一位為四尺,用圓的直徑相除。現今圓的直徑為十,已經滿了整十數,不除退上一位也可以。只需要將四尺加入弧弦長,就得出圓弧的弧長,共是八步四尺。再割一塊田,也依照這種方法。如果圓弧直徑是二十步,要求孤長,就應當折半,這就是所說的要用圓弧直徑來除它。)這兩類方法都是涉及精微的算法,是古書里所沒有的。

作品賞析

沈括是一位卓越的數學家,在數學的許多領域內都取得了輝煌的成就,《隙積術和會圓術》記所記的隙積術和會圓術就是他的兩大重要研究成果。隙積術是用來計算諸如累棋、層壇、積罌(堆砌的酒罈子)一類堆垛物體的體積公式,其中包含了高階等差級數的計算公式。沈括的研究開了中國垛積術研究的先河。後來,南宋時期的數學家楊輝發展了這一成果,創造了垛積術公式。

會圓術是計算圓弧的弦、矢(弧的高)與孤長間數量關係的數學公式。在我國數學史上,沈括第一個利用弦、矢求出了孤長的近似值。這一公式為元代郭守敬創製《授時曆》提供了直接的數學依據。
沈括的數學成就贏得了中外科學家的高度讚揚。日本數學家三上義夫在其《中國算學之特色》一書中,稱讚他是世界數學史上獨一無二的傑出人物。客觀地看,這一評價基本上還是符合事實的。

作者簡介

沈括(1031—1095),字存中,浙江錢塘(今杭州市)人。北宋天聖九年,出生於一個下層官吏的家庭,家境並不富裕,沈括常自謂“出自寒門”。母徐氏,是蘇州吳縣人,知書達禮,諳通文墨;父沈周,為官清正,不主張嚴刑苛法,到泉州任職時,沈括隨往。
沈括的一生,可以概括為從政和科學研究兩個方面,茲舉其要點:公元1070(熙寧三年),參加了王安石變法,並且是改革派的中

作者沈括作者沈括

堅人物;公元1075(熙寧八年),出使遼國,“正駁斥遼國無理爭地要求,維護了宋室主權;繼而鎮守延州(今陝西延安),加強武備,設防邊睡,有效地抵禦西夏。沈括一向重視興修水利、監製兵器、管理財政等,希望促進國家強盛。沈括在從政的同時,一生重視科學研究和科學發明的記載。所進行的科研,堪稱廣博,諸如觀測天象,繪製渾儀景表,補修《奉元歷》;在數學方面,創立“隙積術”和“會圓術”;在物理學方面,發現地磁偏角的存在,早於歐洲400多年,對共振規律也有研究;在地質學方面,從岩石生物遺蹟中推論出沖積平原的形成,提出石油的命名。此外,鑽研藥用植物與醫術。沈括平生著述頗多,著名的傳世之作有《夢溪筆談》、《長興集》、《蘇沈良方》等。在《資治通鑑長編》中,尚有一部分他所撰寫的《乙卯入國奏請》、《入國別錄》等資政史料。
公元1082(元豐五年),因徐禧失陷永樂城,沈括連累受貶,居潤州,築夢溪園(今鎮江東郊),潛心著述,至紹聖元年復官爵,公元1095辭世,終年65歲。

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