公理集合論
正文
數理邏輯的主要分支之一,是用公理化方法重建(樸素) 集合論的研究以及集合論的元數學和集合論的新的公理的研究。E.F.F.策梅洛於1908年首開先河，提出了第一個集合論公理系統，旨在克服集合論中出現的悖論，20世紀20年代A.A.弗倫克爾和A.T.斯科朗曾予以改進和補充，從而得到常用的策梅洛-弗倫克爾公理系統,簡記為 ZF。ZF 是一個形式系統，建立在有等詞和屬於關係“∈”的一階謂詞演算之上。它的非邏輯公理有:外延公理、空集公理、無序對公理、並集公理、冪集公理、無窮公理、分離（子集）公理模式、替換公理模式、正則（基礎）公理。如果另加選擇公理(AC)則所得到的公理系統簡記為ZFC（見集合論公理系統）。已經證明：ZF對於發展集合論是足夠的，它能避免已知的集論悖論，並在數學基礎的研究中提供了一種較為方便的語言和工具。
在ZF中，諸如有序對、關係、等價關係、線序、良序、函式、自然數、有理數、實數及其運算、順序等等都可以定義。也就是說，幾乎所有的數學概念都能用集論語言表達。數學定理也大都可以在 ZFC系統內得到形式證明。因而作為整個數學的基礎（至多範疇論例外），ZFC 是完備的。數學的協調性（無矛盾性）可以歸結成ZFC的協調性。
序數與替換公理 如果一集合 x的元素的元素也都還是x的元素,則稱x為傳遞集。一個集合x是自然數：如果x是傳遞集，x的全體元素在∈下良序,而且x的每一非空子集對序∈而言有最大元。這樣可以把自然數變成了在ZF內可以定義的一種性質，如把0定義作空集═，1定義作0∪{0},2定義作1∪{1}……等等，則0,1,2,…，都是自然數，而且只有這些是自然數。
序數是自然數的推廣。
“x是序數”是指如果集合x是傳遞集,而且x在∈下良序。令On表示全體序數所成的集合,α,β∈On,α<β
α∈β。這樣，就用∈定義了序數間的< 關係，每一序數都是由比它自身小的序數所組成的集合。 每一自然數都是序數,全體自然數ω
{0,1,2,…}也是序數。對任一集合x，令s(x)=x∪{x}。則當x是序數時，s(x)亦為序數。一序數α稱作後繼序數:如果有一序數β，使α＝s(β)。不是後繼序數的序數稱為極限序數，例如0,ω 均為極限序數。 On雖為一真類,但<On,＜>具有性質:On的任一非空子類都有最小元。因此，要想證明每一序數都具有性質φ ，即可套用超限歸納原理：對於任給的一序數β ,若每一比β小的序數α都具有性質φ 則β亦具有性質φ ,那么對所有的序數都具有性質φ 。
在定義序數運算（加、乘、冪）時，需要用超限遞歸定理：若G是一運算,則有一運算F,使得對每一序數α，都有F(α)=G(F
α)。而這一定理的證明要用到替換公理。有了替換公理還可以得到極限序數ω+ω的存在性。如果先將正整數從小排到大，再把非正整數從大排到小而成一序列：1,2,3,…,0，-1,-2,…。從而全體整數就良序了，其序型即為ω＋ω 。 事實上，任一良序集〈ω，＜〉,都有惟一的序數α使得〈w，＜〉序同構於〈α，∈〉。因此，就可以把良序集按序同構來分類，並將同屬於一類的稱為具有同一序型的良序集。而序數就可定義作為同構的良序集的代表。依此，可以定義序數的運算。例如，序數的加法可以定義如下:若α,β為序數，γ為極限序數
β＋0=β,β＋s(α)＝s(β＋α),β＋γ＝
(β＋α),即用關於α的超限歸納原理來定義β+α。同樣地可以定義序數的積β. α和冪βα,以及相應的運算性質,如結合律等。 可以證明：替換公理是獨立於其他公理的。
基數與正則公理 正則公理與其他公理不同，它不是斷言某些集合的存在，而是限制一些集合的存在。提出它是為了研究ZF的模型。在ZF中可定義的數學對象都不以自身為元素；也未發現有集合x,y, 具有x∈y並且y∈x的性質或者集合序列x1,x2,…,滿足:
。1917年 D.米里馬諾夫首先提出良基集的概念。1922年弗倫克爾在策梅洛原來的公理系統補充了一條公理名曰限制公理，顧名思義,它是給出某種限制,以排除那些非良基集。1925年J.馮·諾伊曼，稱它為正則公理。1930年策梅洛也獨立地引入了這條公理，並稱它為基礎公理： 
。
馮·諾伊曼給出了一個分層：
其中V0=═,
（α為任一序數, F(Vα)表Vα的冪集）
。這樣，正則公理肯定了每一集合必在某一Vα中。若再引進γ 
，
在AC成立的條件下,每一群都同構於一個在π中的群：每一拓撲空間都同構於一個在Π中的拓撲空間,等等。而在數學討論中常常是把同構的對象視作同一的；故正則公理並不給討論帶來局限。
基數 基數概念至為重要。兩個集x、y稱作是等勢的
若在x與y之間能建立一個一一對應。如果集合x與y等勢，則記作x～y。由於AC任一集合x都可以良序化,故有序數α ，使得α～x,把這種α中最小的那個序數定義作為集合x的基數,並記作│x│。這樣定義的基數│x│仍然是一個集合;而每一集合x都有一個│x│作為x的數量大小的一個刻畫；並且如果x～y，則│x│=│y │。 這樣定義的基數是序數的一部分：即是不能與小於自己的序數等勢的那些序數，也就是所謂初始序數。例如0，1，2,…,ω 等都是初始序數,因而都是基數。而ω+1，ω+2,…，ω+ω等都不是初始序數,故都不是基數。所以緊接著基數0,1,2,…,ω 的基數是ω1，它也記作堗1。
如果AC不成立，則可利用正則公理來定義任一集合x的基數，記作憫 。憫為一集合：
。
在60年代末期A.萊維還證明了在AC與正則公理都不成立的情況下，基數概念是不可定義的。
構造模型的方法 由哥德爾不完備性定理可知：如果ZF是協調的，則在ZF中不能證明自身的協調性。所以，在公理集合論中只考慮相對協調性問題。如：
內模型法是從已知的一個模型M 出發，來定義M 的一個子模型M s；使得M s滿足ZF的一些公理或者ZF以外的一些公理。公理集合論的一個著名成果就是1938年K.哥德爾所給出的
ConZF→Con(ZF+CH)的證明，證明中用的就是內模型法，但是當時尚未如此命名。
迄至1951年J.C.謝潑德森已經把內模型法研究得很完善，並已知道要用此法去證明
外模型法（即力迫法）是P.J.科恩1963年所創，科恩據此而證明了CH的相對於ZF的獨立性（見力迫方法）。
排列模型的想法始於弗倫克爾，當時他是用來證明
及一些弱選擇公理的相對協調性，適用於有原子（本元）的集合論。迭經A.莫斯托夫斯基、斯派克等人的改進而形成FMS方法,其與外模型法相結合即可構成對稱模型法。 公理集合論的分支 在公理集合論的研究中，大量的工作是關於集合論模型的，此外，還繼續此前樸素集合論對無窮組合問題的研究即組合集合論的研究。其中的一些問題是來源於柯尼希樹引理和 F. P.拉姆齊定理的推廣。
另一分支則為描述集合論（亦稱解析集合論），主要是研究劃分層次以後的實數子集的結構性質問題。因而，這一部分與分析、實數理論和遞歸論的關係較為密切。
即使限於上述兩個分支的研究，也有許多問題要用到ZF（或ZFC）以外的附加假設才能判定。這裡,常用的附加假設有：可構成公理；各種大基數公理，以及與AC不協調的決定性公理等。
哥德爾在1938年提出了可構成公理，並在60年代末和70年代得到重視和發展。至於大基數的研究由來已久，但其作為附加公理亦是在60年代以後。幾乎每一種大基數都是ω 的某種性質向不可數基數的推廣。可構成性、大基數和力迫法已成為公理化集合論的三大主流，同時它們又是三種研究工具。隨著無窮博弈的誕生和博弈論在數學各分支的滲透，以及博弈論與邏輯的關係日益密切，決定性公理也愈受到重視。
