三角函式公式

三角函式公式

三角函式是數學中屬於初等函式中的超越函式的一類函式。它們的本質是任何角的集合與一個比值的集合的變數之間的映射。通常的三角函式是在平面直角坐標系中定義的。其定義城為整個實數域。另一種定義是在直角三角形中,但並不完全。現代數學把它們描述成無窮數列的極限和微分方程的解,將其定義擴展到複數系。三角函式看似很多,很複雜,但只要掌握了三角函式的本質及內部規律就會發現三角函式各個公式之間有強大的聯繫。而掌握三角函式的內部規律及本質也是學好三角函式的關鍵所在。

基本信息

定義式

銳角三角函式 任意角三角函式
圖形
直角三角形 任意角三角函式
正弦 (sin)
餘弦 (cos)
正切 (tan或tg)
餘切 (cot或ctg)
正割 (sec)
餘割 (csc)

表格參考資料來源:現代漢語詞典.

​相關概念

相關概念三角函式的標準英文讀音音

三角函式公式三角函式公式

正弦:sine(簡寫sin)[sain]

餘弦:cosine(簡寫cos)[kəusain]

正切:tangent(簡寫tan)['tændʒənt]

餘切:cotangent(簡寫cot)['kəu'tændʒənt]

正割:secant(簡寫sec)['si:kənt]

餘割:cosecant(簡寫csc)['kau'si:kənt]

正矢:versine(簡寫versin)['və:sain]

余矢:versed cosine(簡寫vercos)['və:sə:d][kəusain]

直角三角函式

直角三角函式 (∠α是銳角)

三角關係

倒數關係:cotα*tanα=1

商的關係:sinα/cosα=tanα

平方關係:sin²α+cos²α=1

誘導公式

三角函式公式三角函式公式

公式一:設

為任意角,終邊相同的角的同一三角函式的值相等:

三角函式公式三角函式公式
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公式二:設

為任意角,

的三角函式值之間的關係:

三角函式公式三角函式公式
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公式三:任意角

的三角函式值之間的關係:

三角函式公式三角函式公式
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公式四:

的三角函式值之間的關係:

三角函式公式三角函式公式
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公式五:

的三角函式值之間的關係:

三角函式公式三角函式公式
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公式六:

的三角函式值之間的關係:

三角函式公式三角函式公式

記背訣竅:奇變偶不變,符號看象限.

基本公式

和差角公式

三角函式公式三角函式公式
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證明如圖,負號的情況只需要用-β代替β即可.cot(α+β)推導只需把角α對邊設為1,過程與tan(α+β)相同.

證明正切的和差角公式證明正切的和差角公式
三角函式公式三角函式公式
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三角函式公式三角函式公式
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和差化積

三角函式公式三角函式公式
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三角函式公式三角函式公式
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口訣:正加正,正在前,余加余,余並肩,正減正,余在前,余減余,負正弦.

積化和差

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倍角公式

二倍角公式

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三角函式公式三角函式公式
三角函式公式三角函式公式

三倍角公式

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證明

sin3a

=sin(a+2a)

=sin2acosa+cos2asina

=2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina

=3sina-4sin^3a

cos3a

=cos(2a+a)

=cos2acosa-sin2asina

=(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^2a)cosa

=4cos^3a-3cosa

sin3a

=3sina-4sin^3a

=4sina(3/4-sin^2a)

=4sina[(√3/2)-sina][(√3/2)+sina]

=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)

=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°+a)/2]

=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)

cos3a

=4cos^3a-3cosa

=4cosa(cos^2a-3/4)

=4cosa[cos^2a-(√3/2)^2]

=4cosa(cosa-cos30°)(cosa+cos30°)

=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}

=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)

=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]

=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]

=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)

上述兩式相比可得:

tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)

四倍角

sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))

cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)

tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)

五倍角

三角函式公式三角函式公式
三角函式公式三角函式公式
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n

三角函式公式三角函式公式

套用歐拉公式:

上式用於求n倍角的三角函式時,可變形為:

三角函式公式三角函式公式

所以,

三角函式公式三角函式公式

其中,Re表示取實數部分,Im表示取虛數部分.而

三角函式公式三角函式公式

所以,

n倍角的三角函式n倍角的三角函式

半角公式

三角函式公式三角函式公式
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(正負由

所在的象限決定)

萬能公式

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輔助角公式

三角函式公式三角函式公式

證明:

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由於

,顯然

,且

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故有:

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三角形定理

正弦定理

詳見詞條:正弦定理

在任意△ABC中,角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c,三角形外接圓的半徑為R.則有

三角函式公式三角函式公式

正弦定理變形可得:

三角函式公式三角函式公式

餘弦定理

詳見詞條:餘弦定理

在如圖所示的在△ABC中,有

三角函式公式三角函式公式

三角函式公式三角函式公式
餘弦定理餘弦定理

三角函式的套用

在海島A上有一座海拔1千米的山,山頂設有一個觀察站P,上午11時,測得一輪船在海島北偏東30,俯角為30的B處。到11時10分又測得該船在島北偏西60,俯角為60的C處。(1)該船的航行速度是每小時多少千米?(2)又經過一段時間後,船到達海島正西方向的D處,此時船距島A有多遠?

解(1)在Rt△PAB中,∠APB=60° PA=1,∴AB=√ 3(千米) 在Rt△PAC中,∠APC=30°,∴AC=√ 3/3(千米)在△ACB中,∠CAB=30°+60°=90°則BC=√ (AB)^2+(AC)^2=√ (√ 3/3)^2+(√ 3)^2=√ 30/3(√ 30/3)/(1/6)=2√ 30(千米/時)(2)∠DAC=90°-60°=30°sinDCA=sin(180°-∠ACB)=sinACB=AB/BC=√ 3/√ 30/3=3√ 10/10sinCDA=sin(∠ACB-30°)=sinACB·cos30°-cosACB·sin30°=(3√ 3-1)√ 10/20在△ACD中,據正弦定理得,AD/sinDCA=AC/sinCDA∴AD=ACsinCDA/sinDCA=(9+√ 3)/13答:此時船距島A為(9+√ 3)/13千米.

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