概念
標準部分映射(standard part map)是有限超實數集到實數集的一個映射。設Fin(*R)是一切有限超實數集，則映射st：Fin(*R)→R，st(y)=x，若且唯若x≈y，稱為標準部分映射。x稱為y的標準部分。這個概念可推廣到一般拓撲空間。設X是拓撲空間，*X是X的自然擴張，ns(*X)是*X中的一切近標準點集，則映射st：ns(*X)→X，st(y)=x，若且唯若x≈y，即y屬於x的單子，稱為標準部分映射。
映射
在數學裡，映射是個術語，指兩個元素的集之間元素相互“對應”的關係，為名詞。映射，或者射影，在數學及相關的領域經常等同於函式。 基於此，部分映射就相當於部分函式，而完全映射相當於完全函式。
兩個非空集合A與B間存在著對應關係f，而且對於A中的每一個元素x，B中總有有唯一的一個元素y與它對應，就這種對應為從A到B的映射，記作f：A→B。其中，b稱為元素a在映射f下的象，記作：b=f(a)。a稱為b關於映射f的原象。集合A中所有元素的象的集合稱為映射f的值域，記作f(A)。
或者說，設A,B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應關係f，使對於集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一的元素y與之對應，那么就稱對應f：A→B為從集合A到集合B的一個映射。
映射，或者射影，在數學及相關的領域還用於定義函式。函式是從非空數集到非空數集的映射，而且只能是一對一映射或多對一映射。
映射在不同的領域有很多的名稱，它們的本質是相同的。如函式，運算元等等。這裡要說明，函式是兩個數集之間的映射，其他的映射並非函式。一一映射(雙射)是映射中特殊的一種，即兩集合元素間的唯一對應，通俗來講就是一個對一個（一對一）。
注意：(1)對於A中不同的元素，在B中不一定有不同的象；（2）B中每個元素都有原象（即滿射），且集合A中不同的元素在集合B中都有不同的象（即單射），則稱映射f建立了集合A和集合B之間的一個一一對應關係，也稱f是A到B上的一一映射。
拓撲空間
歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個集，在它的每一個點賦予一種確定的鄰域結構便構成一個拓撲空間。拓撲空間是一種抽象空間，這種抽象空間最早由法國數學家弗雷歇於1906年開始研究。1913年他考慮用鄰域定義空間，1914年德國數學家豪斯多夫給出正式定義。豪斯多夫把拓撲空間定義為一個集合，並使用了“鄰域”概念，根據這一概念建立了抽象空間的完整理論，後人稱他建立的這種拓撲空間為豪斯多夫空間(即現在的T2拓撲空間)。同時期的匈牙利數學家裡斯還從導集出發定義了拓撲空間。20世紀20年代，原蘇聯莫斯科學派的數學家П.С.亞里山德羅夫與烏雷松等人對緊與列緊空間理論進行了系統研究，並在距離化問題上有重要貢獻。1930年該學派的吉洪諾夫證明了緊空間的積空間的緊性，他還引進了拓撲空間的無窮乘積(吉洪諾夫乘積)和完全正規空間(吉洪諾夫空間)的概念。
20世紀30年代後，法國數學家又在拓撲空間方面做出新貢獻。1937年布爾巴基學派的主要成員H.嘉當引入“濾子”、“超濾”等重要概念，使得“收斂”的更本質的屬性顯示出來。韋伊提出一致性結構的概念，推廣了距離空間，還於1940年出版了《拓撲群的積分及其套用》一書。1944年迪厄多內引進雙緊緻空間，提出仿緊空間是緊空間的一種推廣。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的學生們進行了完整的研究。布爾巴基學派的《一般拓撲學》亦對拓撲空間理論進行了補充和總結。
此外，美國數學家斯通研究了剖分空間的可度量性，1948年證明了度量空間是仿緊的等結果。捷克數學家切赫建立起緊緻空間的包絡理論，為一般拓撲學提供了有力工具。他的著作《拓撲空間論》於1960年出版。近幾十年來拓撲空間理論仍在繼續發展，不斷取得新的成果。
