機率分布的困惑度
離散機率分布p的困惑度由下式給出
困惑度其中H(p) 是該分布的熵，x遍歷事件空間。
隨機變數X的複雜度由其所有可能的取值x定義。
一個特殊的例子是k面均勻骰子的機率分布，它的困惑度恰好是k。一個擁有k困惑度的隨機變數有著和k面均勻骰子一樣多的不確定性，並且可以說該隨機變數有著k個困惑度的取值（k-ways perplexed）。（在有限樣本空間離散隨機變數的機率分布中，均勻分布有著最大的熵）
困惑度有時也被用來衡量一個預測問題的難易程度。但這個方法不總是精確的。例如：在機率分布B(1,P=0.9)中，即取得1的機率是0.9，取得0的機率是0.1。
機率模型的困惑度
用一個機率模型q去估計真實機率分布p，那么可以通過測試集中的樣本來定義這個機率模型的困惑度。
困惑度其中測試樣本x1, x2, …, xN是來自於真實機率分布p的觀測值，b通常取2。因此，低的困惑度表示q對p擬合的越好，當模型q看到測試樣本時，它會不會“感到”那么“困惑”。
我們指出，指數部分是交叉熵。
困惑度
困惑度其中表示我們對真實分布下樣本點x出現機率的估計。比如用p(x)=n/N.
每個分詞的困惑度
在自然語言處理中，困惑度是用來衡量語言機率模型優劣的一個方法。一個語言機率模型可以看成是在整過句子或者文段上的機率分布。（譯者：例如每個分詞位置上有一個機率分布，這個機率分布表示了每個詞在這個位置上出現的機率；或者每個句子位置上有一個機率分布，這個機率分布表示了所有可能句子在這個位置上出現的機率）
比如，i這個句子位置上的機率分布的信息熵可能是190，或者說，i這個句子位置上出現的句子平均要用190 bits去編碼，那么這個位置上的機率分布的困惑度就是2^(190)。（譯者：相當於投擲一個2^(190)面篩子的不確定性）通常，我們會考慮句子有不同的長度，所以我們會計算每個分詞上的困惑度。比如，一個測試集上共有1000個單詞，並且可以用7.95個bits給每個單詞編碼，那么我們可以說這個模型上每個詞有2^(7.95)=247 困惑度。相當於在每個詞語位置上都有投擲一個247面骰子的不確定性。
在Brown corpus (1 million words of American English of varying topics and genres) 上報告的最低的困惑度就是247per word，使用的是一個trigram model（三元語法模型）。在一個特定領域的語料中，常常可以得到更低的困惑度 。
要注意的是，這個模型用的是三元語法。直接預測下一個單詞是”the”的正確率是7%。但如果直接套用上面的結果，算出來這個預測是正確的機率是1/247=0.4%，這就錯了。（譯者：不是說算出來就一定是0.4%，而是說這樣算本身是錯的）因為直接預測下一個詞是”the“的話，我們是在使用一元語法，而247是來源於三元語法的。當我們在使用三元語法的時候，會考慮三元語法的統計數據，這樣做出來的預測會不一樣並且通常有更好的正確率。
