白話高維歐氏幾何學的思路和方法
【摘要】要在現實的三維的世界裡表示一個n維的世界，那么，這個被表示的“n維世界”里將有n-3個兩兩垂直的方向是看不到的。就是說，如果硬要搞出一個“n維直角坐標系”則要有n-3個坐標軸無法畫出。
《高維歐氏幾何學》和《畫法幾何》都成功地解決了這個問題，但《畫法幾何》的方法由於沒有與相應的變換式相聯繫，n維空間中一個點要用n-3個線段去表示，方法過於複雜，因而收效甚微；《高維歐氏幾何學》由於採用了“關係”法，一個點狀圖形可以表示n維空間中n-3個線性無關的向量，因而收穫巨大。
【關鍵字】斜軸變換，斜軸畫法，主壘向，主壘空間，泛點
《高維歐氏幾何學》有別於其它任何所謂的高維幾何，主要表現在它成功地解釋了高維歐氏空間的主要的幾何現象，並將《線性代數》中的相關內容推進到了幾何化的高度。它為什麼能夠取得這么大的成功呢？這主要歸功於它那獨特而神奇的思路和方法。
《高維歐氏幾何學》的思路和方法，總稱為“關係”法，內中又包含了“斜軸變換”和“斜軸畫法”兩項內容，其前者可以看作是思路，而後者可以看作方法。
斜軸變換的思路基於這樣一種現實：我們所生活的這個世界是一個三維的世界，我們要在這個三維的世界裡來表示一個n維的世界，那么，這個被我們所表示“n維世界”里將有n-3個兩兩垂直的方向是看不到的。就是說，如果硬要搞出一個“n維直角坐標系”則要有n-3個坐標軸無法畫出。
那么，斜軸變換是如何解決這一難題的呢？
顧名思義，既稱“變換”，那一定是與某種變換式結了緣。
一次偶然的嘗試，竟然意外地導出了一個神奇的結果！這個神奇的“結果”就是那個後來被稱作“關係式”的變換式。利用這個變換式，筆者嘗試著作出了一個模擬的四維直角坐標系。因為那個變換式反映了一種特定的條件，這個模擬坐標系也是僅僅滿足這種特定條件下所作出的，所以我將其稱為“特定四維繫”。
按照那種變換式的條件，在這個四維繫中，第三個坐標軸是倒在前兩個坐標軸所在的坐標面的，它倒下去的同時，有一條直線（這直線的方程關於第四個坐標軸的坐標為零）及與這個直線互相平行的所有直線都被壓縮成了點狀。這種“點狀”的圖形，與原來坐標系中的“點”就不是同一種意義上的圖形了，我將它們稱為“泛點”，這些“泛點”因為都表示一條直線，所以它們的足階階數為1階。
將那個變換式移項，變換式的左端是一個向量，我發現，這個向量正是那些被壓縮為點狀的直線的方向，或者說，它的方向是“泛點”所表示的那些直線的方向。
現在，在那個特定四維繫中，能看見的互相垂直的坐標軸只剩下了三條：第一、第二和第四條（第三條倒在了前兩個坐標軸所在的坐標面上）。我又選擇了一條關於這三條坐標軸的坐標不為零而關於第三個坐標軸的坐標為零的直線，先確定它的方向，與這直線平行的一個向量稱作這直線的方向向量。再將這方向向量的右端加上關係號，關係號右端再寫上一個０。然後，再移項，這向量的前兩項被移往關係式右端，於是又變成了一個新的關係式。按照這個新的關係式，第四個坐標軸也倒在了前兩個坐標軸所在的坐標面上。
現在，有著四個坐標軸的一個坐標系，變成了這么一個扁平形狀的同樣有著四個坐標軸的平面坐標系，我將其暫時稱作“特定四維平面”。過這特定四維平面的原點引一條垂直向上的射線作為第五個坐標軸，就構成一個特定五維坐標系（簡稱五維繫或特定五維繫）。這特定五維繫中的點狀圖形也稱作“泛點”，這些“泛點”因為表示兩條互不平行（但卻相交）的直線，因此它們的足階階數為2。
在這個五維繫中，看得見的互相垂直的坐標軸仍然只有三條：第一、第二和第五條。再選擇一條關於這三條坐標軸的坐標不為零而關於另外兩條倒下去的坐標軸的坐標均為零的直線，確定它的方向向量，並按照上面的做法將其改寫為變換式。那么，這第五個坐標軸也倒在了前兩個坐標軸所在的坐標面上，變成“特定五維平面”。再過這特定五維平面的原點引垂直向上的射線作為第六個坐標軸，構成特定六維繫。特定六維繫中的點狀圖形仍稱作“泛點”，它們的足階階數為3。
再找一關於第六、第一和第二坐標軸坐標不為零而關於第三、第四、第五坐標軸坐標為零的直線，確定方向向量，改寫為變換式，構造特定七維繫……。照這個思路一直做下去，我們終究會做出一個特定n維繫。這特定n維繫中的點狀圖形同樣稱作“泛點”，因為它們表示n-3條互不平行但卻能相交於一點的直線，所以，它們的足階階數為n-3。
這裡，我們將n維空間中那看不見的n-3條坐標軸改為n-3條直線，那n-3條坐標軸就變為可以看到了。這n-3條直線雖然變為看不見了，但是在相應的變換式中可以得知他們的方向。
說完了基本思路，現在該說說基本方法了。基本方法是“斜軸畫法”。
基本方法的前提，是我們將特定n維繫中的所有圖形都看作泛點的“軌跡”。當一泛點沿著一個方向均勻平行移動時，它的後面就留下一條痕跡，這條痕跡就稱為它移動的“軌跡”。泛點平移的軌跡形成泛曲線，泛曲線平移的軌跡又形成泛曲面。但歸根結底，泛曲面也是看作泛點的軌跡，而泛點又是看作點的軌跡。在這樣的意義下建立了泛曲面、泛曲線的圖形與相應的代數方程間的關係：凡在這泛曲面或泛曲線上的點的坐標都滿足它們的方程，凡不在這泛曲面或泛曲線上的點的坐標都不滿足它的方程。
如何判斷一個點在或不在這泛曲面或泛曲線上呢？
這就要說到我們的基本方法——斜軸畫法了。斜軸畫法由三種圖示法所組成，這三種圖示法分別是：
1.直接圖示法；
2.間接圖示法；
3.一般圖示法。
普通的解析幾何中，因為那裡的圖形只是看作普通點的軌跡，所以只使用一種圖示法就足夠了。但四維以上的空間中的圖形，都是先看作泛點的軌跡，然後再把泛點看作普通點的軌跡。隔了這樣一層關係，問題就變得複雜了。
由於泛點分為足階、乏階和零階三種，針對不同階數的泛點，就要有不同的圖示方法。
在特定n維繫中，第三、第四、……，一直到第n-1個坐標軸是倒在前兩個坐標軸所形成的坐標面上，而且方向通常是傾斜的，所以稱這n-3個軸為斜軸。
在這些斜軸形成的過程中，有n-3條直線被壓縮成為“泛點”，這n-3條直線的方向都分別各用一個向量表示，稱作主壘向，每個主壘向各乘以一個倍數後，再把乘以倍數後的各個主壘向相加，稱作主壘向間的一個線性組合。各個主壘向的所有的線性組合表示一個n-3維的空間，這個空間稱作主壘空間，位於原點的那個泛點正好表示這個主壘空間，而其它泛點都與這個泛點全同。
一般圖示法是針對足階泛點的特點而設立的，用來表示足階泛點及其平移軌跡所形成的圖形；間接圖示法是針對乏階泛點的特點而設立的，用來表示乏階泛點及其平移軌跡；直接圖示法則是針對零階泛點而設立，用來表示它的平移軌跡所形成的圖形。
一般圖示法基於點共泛理論。所謂點共泛理論，是指選擇這樣一組點，這些點共有n-2個，其中由任意一個點出發指向另外n-3個點的向量的坐標可以組成這樣一個矩陣，這個矩陣經過初等變換可以變成由各個主壘向的分量所組成的矩陣（稱作主壘陣）。然後，再根據主壘陣而確定出各個主壘向，將各個主壘向改寫為變換式，就構造出一個特定n維繫，使這n-2個點被壓縮在同一個泛點中。當這n-2個點處於同一泛點之中時，稱這n-2個點“共泛”。
間接圖示法則比較簡單，因為圖示對象是乏階泛點及其平移軌跡，所以在給出圖形的同時，相應地作出文字說明或給出相應的代數方程。
比較麻煩的是直接圖示法。為了保證對同一類型的點的圖示功能的唯一性，需要使被圖示的點關於各斜軸坐標與所採用的特定n維繫的主壘向的第三個分量間有一種線性關係，為此將被圖示的點的坐標稱為“斜標”，各主壘向的第三個分量稱為“斜數”，使被圖示的點“斜標”與“斜數”間保持一定的倍數。同時，根據體視投影圖形（是一種立體圖，原理與立體電影相仿）原理，還需要用一對特定n維繫來表示。已有的特定n維繫稱作“主系”，新增加的特定n維繫稱作“客系”，“客系”與主系的區別，是它的“斜軸”與“主系”關於原點對稱。
三種圖示法很好地解決了特定n維繫中圖形和相應的代數方程之間的關係問題，為進一步研究它們的幾何性質，和它們之間的相互關係打下了堅實的基礎。
目前，人們研究高維空間幾何現象的方法主要有以下三種：畫法幾何的方法；非歐幾何的方法；線性變換的方法。但是，這三種方法所取得的進展微乎其微，唯獨高維歐氏幾何學的方法一枝獨秀，基本上系統地解決了高維歐氏空間的幾何問題。是什麼原因造成了這種局面？我們就來分析一下。
先說畫法幾何。畫法幾何雖然取得較另外兩種方法多得多的成就，例如，用單位圓法解決了n維空間中兩個平面間的夾角問題，相應的方法被《高維歐氏幾何學》所引用並發展成夾角問題的“簡氏解法”。
但是，由於畫法幾何沒有與相應的變換式聯繫起來，它就必須在作圖方法上彌補這些缺陷。我們說，由於是在三維世界裡研究n維空間的事物，那么，必然要有n-3個方向無法直接看到。畫法幾何為了設法讓人們看到這n-3個方向，不得不在作圖過程中添加許多線條來表示這n-3個方向。例如要表示四維空間的一個點，前三個坐標容易解決，第四個坐標如何辦呢？它只好用一個線段來表示。就是說，我們看到的四維空間的一個點，在這裡變成了一條線段。同樣，在五維空間，它要用兩個線段來表示一個點。依此類推，在n維空間，它就要用n-3個線段來表示一個點。這么多的線條，這么複雜的作圖方法，不僅製作起來相當繁瑣，識別起來更加困難重重，這就為它的實用化設定了巨大的障礙。因此，它不可能取得更大的突破和進展。
而高維歐氏幾何學的方法是建立在斜軸變換和斜軸畫法的基礎之上的，n維空間中那看不見的n-3個方向，可以通過它的變換式而得以昭示。這樣，我們用一個點狀圖形——泛點，就表示了這n-3個方向。在斜軸變換和斜軸畫法的基礎上，高維歐氏幾何學解決高維空間的幾何問題就呈現出高屋建瓴，勢如破竹的局面。
再看線性變換的方法。由於只在非奇異線性變換上打主意，因為無法解決模擬直角坐標系的問題，儘管採用了“斜坐標”的方法，最終還是無法解決n維空間中那無法看到的n-3個方向，因此，幾乎是無果而終。
最後再看非歐幾何的方法。非歐幾何目前還無法上升到解析幾何的高度，要用它來解決高維空間的幾何問題，必須先對它進行“數位化”處理，就是說先要把它變為解析幾何。但是，解析幾何是在一定的坐標系中來研究代數方程的幾何性質。而目前，它僅有的所謂“坐標系”僅僅是一個克萊因模型，最多只能勉強表示二維空間的幾何問題。而且由於該模型是非線性的，用來圖示線性方程組所表示的圖形還遠遠不夠現實。為此，許多人試圖對非歐幾何進行進一步的改造，使它與歐氏空間的差距儘可能無窮盡地縮小。但是，據我預測，他們的最後這一步的目的即使達到了，當他們試圖在此基礎上建立高維解析幾何時，他們仍然會落入線性變換方法（第二種方法）的巢臼而無法自拔。
《高維歐氏幾何學》的思路和方法，不僅僅在高維解析幾何中表現了出色的神奇作用，我們預期，它們將會在物理學和經濟學領域裡同樣大展身手。
本貼轉自河風海韻 » 【學無常師】學術研究討論專版
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